Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Численное интегрирование функций

7913
знаков
0
таблиц
3
изображения

Содержание

численное интегрирование формула программирование

Введение 1.  Методы численного интегрирования

2. Квадратурные формулы

3. Автоматический выбор шага интегрирования

Заключение

Библиографический список

Введение

 

Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.

При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида

. (1)

Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:

.

В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f(x) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования.

Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f(xi) = yi в некоторых узлах xi Î[a, b]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P(x), проходящий через полученные точки (xi, yi), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1):

.

При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:

, (2)

где  - узлы интерполирования, Ai – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами.

Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(х), осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R, характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность.


1.  Методы численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла

Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки  в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора  мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6)

 (5)

 (6)

Формула трапеции:


Формула Симпсона

где m=n/2

h=b-a/n

b, a - концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:

 h=

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:


А результат полученный аналитически равен

=1

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.


Информация о работе «Численное интегрирование функций»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 7913
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 3

Похожие работы

Скачать
23991
0
2

... . Также мы получим графическое отображение процесса интегрирования на участках возрастания и убывания функции.   2. Выбор математической модели задачи Кратко рассмотрим основные методы численного интегрирования и выясним почему метод Гаусса наиболее подходит для решения нашей задачи.   2.1 Метод прямоугольников Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на ...

Скачать
15209
0
6

... - 0.588. 2. Математические и алгоритмические основы решения задачи Кратко рассмотрим основные методы численного интегрирования и выясним, почему самый лучший и быстрый метод интегрирования - десятиточечный метод Гаусса.   2.1 Метод прямоугольников Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой ...

Скачать
39882
6
11

... и методика испытаний   5.1 Объект испытаний Объектом испытаний является программа, предназначенная для исследования внутренней сходимости численного интегрирования с помощью методов вычисления интегралов: методы трапеций и Симпсона.   5.2 Цель испытаний Целью испытаний является проверка точности работы программы для данной задачи.   5.3 Требования к программе Во время испытаний ...

Скачать
9976
1
0

... производной: diff (f (х) , х$3). Пример 1. Вычисление производных. > s:=x^3*cos(x)+y^2*ln(sin(x)); > diff(s,x); > diff(s,x$2); > diff(s,x,y); > fs:=Diff(s,x); > q:=sqrt(fs); > value(%); Последние три команды показывают использование отложенной формы команды дифференцирования. 2. Интегрирование выражений Команда int( ) имеет отложенную форму ...

0 комментариев


Наверх