МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ (МЕТОД А. КОРМАКА)

3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ (МЕТОД А. КОРМАКА)

В этом разделе рассмотрим восстановление функции изображения  по ее проекциям, полученным при помощи внешнего источника излучения. Запишем искомую функцию  в полярной системе координат . Тогда по переменной , , произвольная двумерная функция будет периодической и ее можно разложить в ряд Фурье

, . (3.1)

Аналогично разложим в ряд Фурье по переменной  проекцию

, . (3.2)

В полярной системе координат (2.3) имеет вид

, (3.3)

Далее найдем гармонику

 =

=, (3.4)

где . Преобразуем функцию , используя свойство - функции от сложного аргумента

,

где  - функция Хевисайда, , . Следовательно,

, =

= (3.5)

где  - многочлен Чебышева 1-го рода порядка . Выражение (3.5) представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестной функции . В [3] показано, что решение (3.5) имеет вид:

. (3.6)

Итак, зная проекции , можно по формуле (3.2) найти гармоники , а затем вычислить гармоники  по формуле (3.6) и, подставляя их в (3.1), найти искомую функцию .

Для радиально-симметричной функции  в полярной системе координат преобразование Радона  превращается в частный случай преобразования Абеля

 =  =

=. (3.7)

В [3] показано, что решение интегрального уравнения (3.7) имеет вид

. (3.8)

4. РЕКОНСТРУКЦИЯ ТОМОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ПРОЕКЦИЙ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПОЛИНОМАМИ

4.1. Рассмотрим алгоритм реконструкции изображения, основанный на приближенном представлении проекционных данных в виде конечного ряда ортогональных полиномов. Пусть имеется полная ортонормированная последовательность функций . Тогда, если искомая функция квадратично интегрируема, то она может быть представлена в виде
 , (4.1)
где

, (4.2)

а - действительная неотрицательная весовая функция, относительно которой функции  в области задания  взаимно ортогональны.

Учитывая равенство (5.1), задачу реконструкции функции  по ее радоновскому образу можно сформулировать как задачу нахождения коэффициентов по получаемым проекционным данным. Формально это означает, что требуется найти соотношение, например, типа (4.2), но которое определялось бы не функцией , а . Вид искомого соотношения зависит от конкретной ортогональной последовательности  и определить его в общем случае не удается. В [5] приводится решение данной задачи для ортогонального базиса, составленного из функций

, (4.3)

где - полиномы Цернике, для которых выполняются соотношения

,

. (4.4)

Опуская громоздкие промежуточные выкладки, приведем окончательные выражения и сопроводим их необходимыми пояснениями, вскрывающими их физическую сущность. Предварительно заметим, что если изучаемая функция  задана в некоторой ограниченной области , то всегда эту область можно охватить окружностью с некоторым минимальным радиусом а, и, положив  в тех точках ,, где соответствующий круг не пересекается с , рассматривать задачу о восстановлении функции в пределах данной окружности. Далее, произведя нормировку координат ,  на величину , можно перейти к случаю восстановления функции в пределах окружности единичного радиуса. Лишь при выполнении данного условия возможно использовать последовательность функций (4.3).

Для реконструкции функции  заданной в круге единичного радиуса, нужно по полученным проекционным данным  рассчитать величины

, (4.5)

где  - полиномы Чебышева второго рода.

Затем в равенство (4.1) вместо  подставить найденные значения , а в качестве  использовать (4.3). При таких условиях последующее суммирование всех членов получившегося ряда позволяет реконструировать искомую функцию, так что

, (4.6)

где  и  - полярные координаты в плоскости ,  .

Чтобы разобраться, почему суммирование в (4.6) по индексу  проводится от  до , достаточно вспомнить, что все коэффициенты  при  равны нулю. Выбор полинома Чебышева приводит к тому, что коэффициенты  обладают еще одним свойством: они также равны нулю, когда сумма их индексов  является нечетной. Это следует непосредственно из формулы (4.5), если учесть два обстоятельства:

1) согласно (2.8) ;

2) полином Чебышева четного (нечетного) порядка является соответственно четной (нечетной) функцией своего аргумента.

Объединяя оба условия, имеем

, если  или  нечетно. (4.7)

Полезно также вспомнить, что для используемых полиномов Чебышева второго рода, которые определяются формулой

, (4.8)

 (4.9)

так что эти полиномы ортогональны на отрезке [- 1, 1] относительно весовой функции .

Учитывая (4.9), можно показать [5], что

. (4.10)

Сопоставляя (4.6) и (4.10), видим, что, как искомая функция , так и ее радоновский образ , выражаются через двойные суммы по индексам  и , в которых используются одни и те же коэффициенты , но разные последовательности ортогональных функций.

Пример

Пусть , ее радоновский образ находится по (2.7) при  и оказывается равным

.

Согласно (4.5), если  то  (из-за центральной симметрии функции), а для  получаем значения коэффициентов разложения

=

=

Выполняя суммирование в (4.6) с данными коэффициентами получим приближенное значение исходной функции изображения .