Модель ринкової рівноваги

Модель Ринкової рівноваги

1. Існування та стійкість рівноваги

Структура моделі рівноваги така: фірми й споживачі, діючи в егоїстичних інтересах, складають індивідуальні плани виробництва та споживання продукції. Даний процес описується моделями поведінки. Характер цих рішень залежить від технології виробництва, системи переваг і системи цін. Якщо технологія виробництва й система переваг фіксовані, то суттєвою є тільки система цін.

Припустимо відома система цін. Може виявитися, що при даній системі цін рішення споживачів і фірм несумісні: наприклад, споживачі вирішують спожити більше, ніж виробляють виробники при даній системі цін, або навпаки, споживачі вирішують спожити продукції менше, ніж можуть виробити виробники. Це означає, що попит (план споживачів) не відповідає пропозиції (плану фірми).

Перше запитання, на яке необхідно відповісти – питання існування рівноваги. Чи знайдеться взагалі для даної системи переваг і даної технології виробництва така система цін, при якій відповідні рішення споживачів і фірм будуть сумісними?

Розглянемо економіку, що складається з  споживачів і  фірм, які виготовляють  товарів. Плани кожного з агентів економіки описуються -вимірними наборами чисел. Якщо ,  – план споживача , то  – кількість -го продукту, який вирішив ужити споживач . Якщо ,  – план виробництва фірми , то  – кількість -го продукту, який вирішила виробити фірма . Якщо фірма  не виготовляє, а лише споживає продукт  або виготовляє його в меншій кількості, ніж споживає, то компонента .

Нехай споживачі та фірми однозначно визначають свої плани за будь-якими цінами , при цьому існує функція попиту ,  і функція пропозиції

, .

Надлишковим попитом на товар -го виду називається різниця між попитом і пропозицією, тобто

. (1)

Надлишкові попити на всі  продуктів утворює вектор-стовпець

Функція  характеризується такими властивостями:

1)  для будь-якого , , тобто  є однорідною функцією нульового ступеня; це можливо, якщо при пропорційній зміні всіх цін попит та пропозиція не змінюються;

2) функція  задовольняє закону Вальраса  для кожного

;

дана властивість випливає з умови, що весь доход витрачається на покупку, тобто сумарний доход дорівнює сумарній витраті;

3) функція  безперервна при кожному .

Система цін  називається рівноважною, якщо , тобто

,

Таке визначення рівноваги допускає можливість від’ємного надлишкового попиту, тобто можливість надлишкової пропозиції. Якщо  – система цін рівноваги, то надлишкова пропозиція можлива лише при нульовій ціні, тобто якщо для деякого  функція , то . Дійсно, якщо  і , тоді всі доданки суми  недодатні. Якщо , то один доданок цієї суми, а саме , строго від’ємний. Виходить, від’ємна і вся сума, тобто , що суперечить закону Вальраса (властивість 2).

Сформулюємо теорему. Якщо функція  задовольняє умовам 1–3, то система рівноважних цін  існує.

Друга проблема полягає в досягненні стану рівноваги за умови, що він існує (стійкість рівноваги).

Класичним методом розв’язання проблеми стійкості є процес "намацування", що являє собою ітеративний розв’язок, отриманий в результаті використання закону попиту та пропозиції для певного ринку. Для кожного ринку пропонується аукціонер, який не є а ні продавцем, а ні покупцем. Аукціонер реагує на нерівновагу на ринку через упорядкування цін. Правила встановлення впорядкованих цін такі: ціни піднімаються, якщо загальний ринковий попит перевищує загальну ринкову пропозицію; ціни знижуються, якщо загального ринкового попиту не вистачає для покриття загальної ринкової пропозиції; ціни залишаються незмінними, якщо загальний ринковий попит дорівнює загальній ринковій пропозиції.

У термінах функцій надлишкового попиту процес "намацування" має підвищити (понизити, залишити незмінним) ціни, якщо надлишковий попит позитивний (негативний, дорівнює нулю), тобто

 (2)

Даний метод не гарантує в широкому розумінні досягнення стійкої рівноваги, наприклад, під час процесу "намацування" система цін може нескінченно довго коливатися біля точки рівноваги. Більш досконалі методи розв’язання проблеми стійкості розглядають системи "намацування", в яких траєкторії цін задаються формулою

,

де , , , тобто швидкість зміни всіх цін у часі – зростаюча функція надлишкового попиту на ті товари, обсяг яких збігається до нуля, якщо дорівнює нулю надлишковий попит.

Рівновагу називають локально стійкою, якщо вона в остаточному підсумку досягається, починаючи з деякого набору цін, досить близького до точки рівноваги.

Нехай  – вектор цін у момент часу , тоді рівновага в точці  є локально стійкою, якщо  при заданих , , де  – початковий момент часу, а  – евклідова норма в просторі цін .

Рівновага називається глобально стійкою, якщо вона в остаточному підсумку досягається незалежно від початкової точки, тобто  для всіх .

Глобальна стійкість припускає локальну. Зворотне невірно.

Аналіз локальної стійкості рівноваги ґрунтується на апроксимації швидкості зміни цін

біля рівноваги. Рівноважною точкою  є набір цін, що не змінюється в часі

 (3)

в точці , а для процесу "намацування" рівновага вимагає нульового надлишкового попиту для кожного товару

, . (4)

Нехай розглядається лінійний процес "намацування"

із точкою рівноваги в . Розкладемо  в ряд Тейлора в околі точки

, (5)

де  – матриця Якобі

,

оцінена в точці рівноваги. Через те, що  – точка рівноваги,  й, визначивши вектор різниці між реальними та рівноважними цінами як , (2.41) матиме вигляд

 (6)

Система диференціальних рівнянь (6) стійка, тобто , тоді й тільки тоді, коли всі характеристичні корені матриці Якобі мають невід’ємні дійсні числа. Дана умова виконується, якщо всі товари є замінними, тобто збільшення ціни на будь-який продукт при незмінних інших цінах приводить до збільшення надлишкового попиту на будь-який інший продукт  для всіх , . Отже, точка рівноваги є локально стійкою, якщо всі продукти є замінними.

2 Ітеративний процес знаходження рівноважних цін

Розглянемо ітеративний процес по Вальрасу, що імітує дію ринкового механізму з встановлення рівноважних цін на ринку.

За господарські суб'єкти, що беруть участь у процесі функціонування ринку, виберемо дві фірми, кожна з яких, володіє єдиним доступним їм обом фактором, виробляє по одному виду продукції кінцевого попиту, і одного споживача, що пропонує цей попит. Умовимося, що обмін здійснюється через єдиного посередника – аукціонника. У цьому випадку економічний цикл виглядатиме так, як показано на рис. 1.

Рисунок 1.

Проблема оптимального розподілу ресурсів для такої економіки формулюється таким чином.

Умови попиту (D-Demand) і пропозиції (S-Supply) продукції:

.

Умови попиту та пропозиції ресурсів: .

Функція корисності, що максимізується споживачем:

.

Тут

 – обсяг пропозиції -го продукту -им підприємством;

 – обсяг попиту з боку споживача на -й продукт;

 – пропозиція ресурсу;

 – обсяг попиту на ресурс з боку -го підприємства;

 – виробнича функція -го підприємства;

 – функція корисності споживача.

Ітеративний процес знаходження рівноважних цін складається з таких п’яти кроків на кожній ітерації.

1. Аукціонник указує -й фірмі ціну на її продукцію  і ціну фактора , а також повідомляє споживачеві ціни  й ціну попиту, що дорівнює граничній корисності , , де  – функція корисності споживача, задана як , де ,  – коефіцієнти функції корисності споживача.

2. Фірма  з виробничою функцією , виходячи з заданих їй цін, обирає таке сполучення витрат і результатів виробництва , , , що максимізує її прибуток

і подає це сполучення на розгляд аукціонника.

Необхідною умовою максимізації прибутку підприємства є

 при .

Отже, з огляду на те, що

при  одержуємо

,

де ,  – коефіцієнти виробничої функції -ї фірми.

3. Споживач визначає попит на -й продукт у такий спосіб. Якщо на -й продукт попиту немає або гранична корисність споживача менша за граничні витрати, то споживач залишає величину попиту без змін. У протилежному випадку він коректує обсяг попиту на -й продукт за формулою

, ,

де , , – додатні коефіцієнти.