2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів
Функція :
а) двічі неперервно диференційовна на відрізку ;
б)відмінна від нуля тільки на чотирьох відрізках
Відрізок називають носієм функції [6].
Доповнимо розбиття допоміжними вузлами:
,взятими довільно.
За розширеною сіткою:
:можна побудувати сім’ю з кубічних В-сплайнів:
,
Ця сім’я утворює базис в просторі кубічних сплайнів на відрізку . Тим самим довільний кубічний сплайн , побудований по розбиттю із вузла, може бути представлений на цьому відрізку в вигляді лінійної комбінації:
Умовами задачі коефіцієнти цього розбиття визначаються однозначно [7].
2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду
У випадку коли задані значення функції в вузлах сітки і значення і першої похідної функції на кінцях сітки (задача інтерполяції з граничними умовами першого роду), коефіцієнти обчислюються із системи наступного вигляду:
, де (16)
Після виключення і отримується лінійна система з невідомими і 3-діагональною матрицею, яку можна розв’язати, як методом Гауса, так і методом прогонки [8].
При розв’язанні задачі інтерполяції другого роду використовують значення похідних другого порядку на кінцях сітки: і . І коефіцієнти вже обчислюються із системи:
(16’)
таким самим чином, як і під час розв’язування задачі інтерполяції першого роду.
2.4 Апроксимація кубічними В-сплайнами
Нехай задана таблиця чисел і , котрі є значеннями функції і її першої похідної у вузлах ai, i =0,1, ..., N. Необхідна апроксимувати функцію W(a) з допомогою цих даних.
Розглянемо апроксимацію кубічними В-сплайнами. Конструкція нормованого
кубічного В-сплайна зазвичай задається так:
(17)
В правій частині (17) стоять многочлени третього степеня виду:
(18)
Коефіцієнти ai , bi , ci , di визначаються із системи чотирьох рівнянь, отриманих при умовах: и . В результаті її розв’язку можна записати:
(19)
, ,
При конкретизації виразу (18) використовуються формули (19), що задовольняють умови стику у вузлах ai-2, ai-1, ai , ai+1 для сплайнів:
(20)
Та їх похідних по a, позначених штрихом:
(21)
В роботі Б.Зав’ялова [6] для рівномірної сітки i=0,1, ... , N, задовольняючи наступні умови (20), (21), отримано такий вираз для
Тут , а також з’ясовано, що S0=2/3, S*=1/6, S**=1/2h.
Загальний інтерполяційний вираз, в якому використовуються нормовані кубічні В-сплайни (22), записуються так:
, (23)
де , а . Коефіцієнти bi+1,bi+2 визначаються із умов, що задовольняють значення функції W(a), відомих в деяких вузлах . Зазвичай вибирають , , а задовольняють нерівність: .
Запишемо (23) в розгорнутому вигляді. Для цього, використавши (22) отримаємо всі вирази для . Сплайн отримаємо із четвертої рівності (22), якщо там формально замінити x на 1+ x . Тоді
(24)
Вираз для береться безпосередньо із (22)
(25)
Сплайн записується на основі другої рівності (22) шляхом формальної заміни x на x-1
(26)
І, нарешті із першого виразу (22), замінюючи x на x-2, отримаємо:
. (27)
Тоді остаточний варіант інтерполяційного виразу, основаного на застосуванні нормованих кубічних В-сплайнів, отримаємо шляхом підстановки виразів (24)-(27) в (23)
(28)
Вираз (28) дає четвертий порядок апроксимації функції по кроку h 0( h4 ) . Якщо в формулі (28) виключити коефіцієнти, виразивши їх через значення апроксимуючої функції у вузлах, то отримаємо:
, де (29)
(30)
Більш високий порядок апроксимації можна отримати за допомогою так званих напружених сплайнів, при цьому інтерполяційний вираз (29) зберігає свій вигляд, а функції, які входять до його складу задаються так:
, (31) де
; ; ;
; ; .
Інтерполяційний вираз виду (29) використовується, як для визначення шуканих величин між вузлами координатної сітки, так і для апроксимації частинних похідних, котрі входять до складу повної системи рівнянь [8].
0 комментариев