Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції

Міністерство освіти і науки України

Черкаський національний університет Імені Богдана Хмельницького

Кафедра математики та методики навчання математики

Кваліфікаційна робота з математики

Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції

Автор:

Вишемірська Тетяна Володимирівна

Четвертий курс, денна форма навчання, математичний факультет

Науковий керівник:

Доктор фізико-математичних наук, професор

Стеблянко Павло Олексійович

Черкаси 2010

Зміст

 

Вступ

1. В-сплайни

1.1 Базис із В-сплайнів

1.2 В-сплайни нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків

1.3 Лінійні В-сплайни

1.4 Квадратичні В-сплайни

2. Кубічні В-сплайни

2.1Формули задання кубічних B-сплайнів

2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів

2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду

2.4.Апроксимація кубічними В-сплайнами

2.5 Практичність вивчення кубічних В-сплайнів у вищих навчальних закладах

3. Практична частина

3.1Задача №1

3.2Задача №2

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

 

Сплайн-інтерполяція на сьогоднішній день є одним із найточніших методів наближення. В теорію наближень сплайни ввійшли зовсім недавно і відразу ж зайняли в ній досить важливе місце. Буквально протягом кількох років для сплайнів були розв’язані апроксимаційні задачі, на розв’язання яких для поліномів були потрачені десятиліття. З подальшим вивченням і застосуванням сплайн-функцій, знадобилося їх певне спрощення, для полегшення розрахунків. Саме тоді і з’явилися В-сплайни, які як виявилося не тільки є простішими для обчислень, але й дають більшу точність наближення, що є дуже важливим при розв’язуванні практичних задач.

Актуальність: Сьогодні сплайн-функції відіграють дуже важливу роль, вони входять в курс «Чисельні методи», як додатковий метод інтерполяції, а також використовуються в курсі «Рівняння математичної фізики» для розв’язування нерозв’язних диференціальних рівнянь; з допомогою сплайнів і В-сплайнів (в основному кубічних) розв’язуються (з великою точністю) ті задачі, які не можна розв’язати іншими, відомими, методами.

В-сплайн – це крива з неперервними старшими похідними до n-ої, де n – порядок сплайна.

Мета курсової роботи: Розглянути кубічні В-сплайни, а також лінійні та квадратичні В-сплайни, форми їх запису та формули для розрахунків інтерполяційних задач, рекурентні формули для представлення В-сплайнів 1-го, 2-го, 3-го та вищих порядків. З’ясувати практичність застосування Кубічних В-сплайнів у ВНЗ при розв’язуванні задач інтерполяції. Застосувати на практиці отримані знання.

Для досягнення мети були поставлені такі завдання:

– знайти і опрацювати літературу із даної теми;

– систематизувати опрацьований матеріал;

– отримати формули для розрахунків інтерполяційних задач;

–  визначити практичність кубічних В-сплайнів в порівнянні з іншими сплайнами і В-сплайнами;

1 B-сплайни

 

1.1 Базис із В-сплайнів

 

Одним з найширше використовуваних представлень кривих в комп'ютерному баченні є представлення у вигляді В-сплайну. Важливо розрізняти сплайни і В-сплайни. В-сплайни є поліноміальними функціями. Сплайни є лінійною комбінацією В-сплайнів. У літературі сплайни зазвичай визначаються як різні види степеневої функції. Для обчислень зручніше визначати сплайни рекурсивними функціями.

Приймемо без доведення наступну лему, яку буде використано для доведення важливої теореми:

Лема 1. Нехай  - множина сплайнів порядку m дефекту 1 по розбиттю . Якщо  і сплайн  із  задовольняє умови ,  то  на .

Теорема 1. Система із  В-сплайнів

, (1) порядку  за розбитям  з носіями  є базисом в .

Доведення. Нехай

, ; (2) потрібно довести, що  (). Безпосередньо із визначення В-сплайнів (1) виплива, що  при ; але тоді з урахуванням (2)

,  і в силу леми 1  для . Таким чином,

, .(3)

Оскільки на проміжку  , а при  , то із (3) слідує, що , так що

, .

Для   при  і  при , а тому  і

, .

Розмірковуючи аналогічно, далі прийдемо до рівності

 що й треба було довести.

Наслідок 1. Будь-який сплайн  із  єдиним чином представляється у вигляді

, .(4)

Якщо сплайн  із  однозначно визначається деяким набором із  інтерполяційних умов, то, підставляючи в ці умови замість  суму (4), отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів . Усилу скінченності носіїв сплайнів  в кожному рядочку визначника цієї системи, не дорівнюватимуть нулю лише  елементів - значення сплайнів  (або їх похідних) в одній із точок  розбиття . При цьому не нульові елементи, які відповідають внутрішнім умовам інтерполяції, будуть розміщені вздовж головної діагоналі визначника. Саме це і забезпечує, принаймні для малих , простоту обчислення коефіцієнтів лінійної комбінації (4) [1].