Решается система линейных уравнений (2.2.1)

1. Решается система линейных уравнений (2.2.1).

2. Проверяется выполнение условий (2.2.12), (2.2.13).

3. Определяется  по формуле (2.2.26) и проверяется сходимость ряда (2.2.25).

4. Определяются  с помощью соотношений (2.2.15) – (2.2.17).

5. Находится стационарное распределение состояний сети  с помощью формулы (2.2.8).

При этом нормировку вероятностей можно производить не  раз, как это делалось в пункте 4, а один раз, исходя из условия . Отметим также, что если в сети есть терминальные узлы, в которых условия (2.2.12), (2.2.13) не выполняются, то алгоритм существенно усложнится, так как в этих узлах нельзя применить (2.2.15) – (2.2.17). Поэтому для таких узлов необходимо добавить процедуру численного решения системы уравнений (2.2.2) – (2.2.7) с последующей его нормировкой.

Замечание 2.5. Нетрудно понять, что совместное стационарное распределение чисел заявок в узлах имеет следующую форму:

где

а совместное стационарное распределение режимов работы узлов – форму:

где

Здесь  – число индексов, таких, что

которое, как упоминалось выше, конечно или счетно.

Исходя из этих соотношений можно построить также алгоритм подсчета числовых характеристик узлов в стационарном режиме. Например, можно найти среднее стационарное число заявок в каждом узле, средний стационарный режим работы каждого узла и т.п. В принципе можно построить алгоритм нахождения совместной стационарной производящей функции чисел заявок и режимов работы в узлах сети, алгоритмы нахождения совместной производящей функции чисел заявок и нахождения совместной производящей функции режимов работы узлов в установившемся состоянии.

Пусть  – часть выходящего из -го узла потока заявок, покидающих сеть  – подмножество нетерминальных узлов . Из леммы 2.4 и результатов работы  вытекает

Следствие 2.2. Потоки  являются независимыми пуассоновскими потоками с параметрами  соответственно.

Заметим, что если условиям (2.2.12), (2.2.13) подчиняются все узлы, то  – независимые пуассоновские потоки.

3. Примеры открытых сетей с переключением режимов

В 2.2 рассматривалась достаточно общая модель открытой сети с многорежимными стратегиями. Здесь рассматривается несколько полезных для приложений частных случаев этой модели. Во всех рассматриваемых ниже примерах предполагается, что для  выполняется  при  и  при .

Случай . Во многих практических ситуациях переход с одного режима работы на другие невозможен, когда в узле нет заявок. Поэтому пусть для всех  выполняется  при . Пусть также для всех  выполняется  для  и  для , а также  для  и  для . Это соответствует тому, что в модели из 2.2 полагается .

Следствие 2.3. Для того, чтобы стационарное распределение марковского процесса  представлялось в мультипликативной форме (2.2.8), необходимо и достаточно, чтобы во всех нетерминальных узлах сети выполнялись условия

Множители в (2.2.8) имеют форму

где

В следующих двух случаях стационарное распределение всегда имеет форму произведения, поскольку марковский процесс, описывающий изолированный узел в фиктивной окружающей среде, обратим. Поэтому не надо накладывать никаких ограничений типа (2.2.12), (2.2.13).

Случай . Прибор может переключаться с одного режима работы на другие только тогда, когда в узле нет заявок: для  выполняется  при  и  при . Кроме того для всех  выполняется . Это соответствует тому, что в модели из 2.2 полагается .

Следствие 2.4. Марковский процесс  эргодичен, а его стационарное распределение представляется в мультипликативной форме (2.2.8), множители в которой имеют форму

где

Случай . Переход с одного режима работы прибора на другие возможен только тогда, когда в -узле находится определенное число заявок : для  выполняется  при  и  при . Кроме того для всех  выполняется . Это соответствует тому, что в модели из 2.2 полагается .

Следствие 2.5. Марковский процесс  эргодичен, а его стационарное распределение представляется в мультипликативной форме (2.2.8), множители в которой имеют форму

где

Заключение

В работе рассмотрена задача установления необходимых и достаточных условий, которые надо наложить на изолированные узлы открытой сети массового обслуживания с многорежимными стратегиями обслуживания, чтобы стационарное распределение состояний сети имело мультипликативную форму с множителями, зависящими от состояний отдельных узлов. При этом изолированные узлы помещаются в фиктивную окружающую среду, характеризующуюся поступлением в них пуассоновских потоков заявок. Такой критерий точечной независимости состояний открытой сети в стационарном режиме ее работы установлен как для случая, когда интенсивности перехода в соседние режимы работы строго положительны при любых числах заявок в узлах, так и для случая, когда при определенных числах заявок в узлах они строго положительны, а при других числах все они равны нулю.

При выполнении установленных условий определены достаточные условия эргодичности марковского процесса, описывающего состояния сети, и в аналитической форме найдены множители в мультипликативном представлении стационарного распределения. Построен алгоритм для расчета стационарных вероятностей состояний сети. Доказано также, что выходящие из сети потоки заявок являются пуассоновскими, статистически не зависящими друг от друга для разных узлов.

Список использованных источников

1. Анисимов B.B., Лебедев Е.А. Стохастические сети обслуживания. Марковские модели. – Киев: Лыбидь, 1992. – 205 с.

2. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычислительных сетях. – М.: Наука. – 1989. – 336 с.

3. Башарин Г.П., Толмачев А.Л. Некоторые результаты теории сетей массового обслуживания // Методы развития теории телетрафика. – М. – 1970. – С. 52–65.

4. Башарин Г.П., Толмачев А.Л. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем // Итоги науки и техники. – М., 1983. – Т.21. – С. 3–119. – (Сер. Теория вероятностей. Матем. статистика. Теор. кибернетика / ВИНИТИ).

5. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания: Учебник. – М.: РУДН, 1995. – 529 с.

6. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. – М.: Наука, 1977. – 568 с.

7. Горцев А.М., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. – Томск: ТГУ, 1978. – 208 с.

8. Добрушин Р.Л., Кельберт М.Я., Рыбко А.Н., Сухов Ю.М. Качественные методы теории сетей с очередями // Препринт. – М., 1986. – 50 с. – (ИППИ АН СССР).

9. Евдокимович В.Е., Малинковский Ю.В. Сети массового обслуживания с динамической маршрутизацией и динамическими вероятностными обходами узлов заявками // Проблемы передачи информации. – 2001. – Том 37, вып. 3. – С. 55–66.

10. Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. – М.: Радио и связь. – 1988. – 192 с.

11. Ивницкий В.А. Сети массового обслуживания и их применение в ЭВМ // Зарубежная радиоэлектроника. – 1977. – №7. – С. 33–70.

12. Ивницкий В.А. Об условии независимости стационарных вероятностей состояний разомкнутой сети однолинейных систем с потерями от вида распределений длительностей обслуживания // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. – 1981. – №4. – С. 136–140.

13. Ивницкий В.А. Об условии инвариантности стационарных вероятностей для сетей массового обслуживания // Теория вероятностей и ее применения. – 1982. – Т. 27, №1. – С. 188–192.

14. Ивницкий В.А. Об инвариантности стационарных вероятностей состояний для замкнутых сетей однолинейных СМО // ДАН УССР. А. – 1989. – №7. – С. 8–11.

15. Ивницкий В.А. Об условии инвариантности стационарных вероятностей состояний для сетей однолинейных СМО // Теория вероятностей и ее применения. – 1989. – Т. 34, №3. – С. 576–580.

16. Ивницкий В.А. Об инвариантности стационарных вероятностей состояний для сетей многолинейных систем массового обслуживания с абсолютным приоритетом поступающего требования и дообслуживанием // Исследование систем и сетей массового обслуживания: Тез. докл. 12‑й Бел. зимней школы-семинара по ТМО, Гродно, янв.-февр. 1996 г. / Бел. гос. унив. – Минск, 1996. – С. 36–37.