Взвешенный сигнальный граф и структурная схема линейной математической модели САР

6. Взвешенный сигнальный граф и структурная схема линейной математической модели САР

Для определения закона изменения во времени данной выходной величины необходимо исключить из системы уравнений все остальные переменные, являющиеся в данном случае промежуточными, и получить дифференциальное уравнение, связывающее рассматриваемую выходную переменную с входной, представленной заданной функцией времени в правой части уравнения.

Операции исключения промежуточных переменных из сложных дифференциальных уравнений очень трудоемки и громоздки. Поэтому возникает потребность упростить эти операции. С этой целью в линейных математических моделях САУ обычно используют операционную форму записи линейных дифференциальных уравнений, представляя уравнение каждой связи сигнального графа в виде так называемой передаточной функции.

Замена дифференциальных уравнений передаточными функциями позволяет представить систему линейных дифференциальных уравнений САУ в виде взвешенного сигнального графа, либо в виде структурной схемы.

Существенным ограничением на применение передаточных функций при исследовании линейных САУ является то обстоятельство, что передаточная функция линейного дифференциального уравнения ставит в соответствие каждой конкретной функции в правой части (входному сигналу) одно решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным условиям.

Для перехода к операторной форме записи необходимо оператор дифференциального уравнения d/dt заменить символом p, с которым в дальнейшем можно поступать как с сомножителем.

В операторной форме записи дифференциальное уравнение

примет вид

Вынеся переменные x(t)и y(t) за скобки в левой и правой частях, получим операторную форму дифференциального уравнения:

По своей форме это уравнение является алгебраическим, а не дифференциальным. Разрешим его относительно искомой переменной x(t), разделив обе части ни сомножитель

Мы получили очень наглядную запись линейного дифференциального уравнения.

Искомая переменная x(t) представлена как результат умножения независимой переменной y(t) на символический коэффициент

Этот коэффициент W(p) называется передаточной функцией данного дифференциального уравнения. Передаточная функция условно и в то же время наглядно отражает структуру и численные значения коэффициентов дифференциального уравнения, связывающего две переменные - независимую (входную) y(t) и искомую (выходную) x(t):

Таким образом, передаточная функция - его один из удобных способов записи линейного дифференциального уравнения.

Запишем в операторной форме систему линеаризованных дифференциальных уравнений исследуемой САР. Коэффициенты, возникающие при переходе к операторной форме записи, будем нумеровать по порядку К₁, К₂, К₃,…(большими буквами без штрихов, нумерованные по порядку возрастания). Постоянные времени будем также нумеровать по порядку их возникновения Т₁, Т₂,…

Если уравнение не является дифференциальным, то его вид не изменяется:

1)  u₁=K₁х+ K₂u₃;

W₁(p )=K_1. W₂(p )=K_2.

где K₁=_.K'₁ и K_2.=K'₂

2) Заменим оператор дифференцирования в левой части сомножителем р и вынесем за скобки переменную i_вг. Разрешив полученное уравнение относительно i_вг, получим запись дифференциального уравнения в виде передаточной функции:

где

3) j₁=K₆ i; W₄(p)=K₆, где К₆=К₅'.

4) j=j₁+j₂

5) u_я=K₈j+K₇w_{г ;} W₅(p)=K₇; W₆(p)=K₈, где К₇ =K'₇, K₈=K'_6.

6) 

где

7) m_qв=K₁₂i_дв+K₁₃j_в; W₈(p)=K₁₂; W₉(p)=K₁₃, K₁₂=K'₁₀, K₁₃=K'₁₁.

8) 

9)  е=K₁₇w _г+K₁₆j_в;

W₁₂(p)=K₁₇; W₁₁(p)=K₁₆, где K₁₆=K'₁₃, K₁₇=K'₁₄.

10) j_в=K₁₈i_в; W₁₃(p)=K₁₈, где K₁₈=K'₁₅.

11)

где

12)

13)

где

14)

15) ;

16)

17) u_д=K₃₀i_д+ K₃₁r_д;

W₂₁(p )=K_30. W₂₂(p )=K_31.

где K₃₀=_.K'₂₈ и K_31.=K'₂₉

18)

19)

где

20) j₂=K₃₆i₂; W₂₅(p)=K₂₆, K₃₆=K'₃₃

21) u_с=K₃₇ u_{т ;} W₂₆(p)=K₃₇, K₃₇=K'₃₄

22)

Взвешенный сигнальный граф и структурная схема являются эквивалентными формами наглядного графического представления системы линейных дифференциальных уравнений САР. Как взвешенный граф, так и структурная схема используют запись дифференциальных уравнений связей в виде передаточных функций.

Взвешенный сигнальный граф по своей структуре почти полностью совпадает с исходным сигнальным графом (Рисунок 3), каждому его ребру приписан вес, имеющий вид передаточной функции. Взвешенный сигнальный граф САР напряжения сварочной дуги приведен на Рисунке 4.

Порядок построения структурной схемы линейной математической модели аналогичен порядку построения исходного сигнального графа. Сначала слева направо располагают основную цепочку связей переменных от сигнала задания к управляемой величине. Затем внизу справа налево строят цепочку главной обратной связи. После этого в произвольном порядке достраивают остальные связи математической модели.

Структурная схема САР напряжения сварочной дуги приведена на Рисунке 5.