Теоретико-множественные представления

2.3 Теоретико-множественные представления

Теоретико-множественные представления базируются на понятиях: множество, элементы множества и отношения на множествах. Сложную систему можно отобразить в виде совокупности разнородных множеств и отношений между ними (рис. 4). и названием характеристического свойства (именем, отражающим это свойство) – например, множество A. В основе большинства теоретико-множественных преобразований лежит переход от одного способа задания множества к другому.

В множестве могут быть выделены подмножества. Из двух и более множеств или подмножеств можно, установив отношения между их элементами, сформировать новое множество, состоящее из элементов, качественно отличающихся от элементов исходных множеств.

Рисунок 4 - Теоретико-множественные представления

При теоретико-множественных представлениях можно вводить любые отношения. При конкретизации применяемых отношений и правил их использования можно получить одну из алгебр логики, один из языков математической лингвистики. Можно также создать язык моделирования сложных систем, который затем может развиваться как самостоятельное научное направление.

При применении теоретико-множественных представлений для отображения сложных систем и процессов в них наиболее общими формальными характеристиками являются абстрактные знаковые формулы, с помощью которых удобно отображать многоуровневое строение систем. Например, система S может быть отображена в совокупность множеств, описываемую теоретико-множественной формулой:

множество вероятностей p изменения состояний;

-

множество возмущений Z , действующих на систему. Представление системы полной формулой не всегда возможно и целесообразно. Обычно системы описываются сокращенными формулами в зависимости от требований полноты описания.

При отображении системы осуществляется ее декомпозиция – выделение групп (множеств) элементов, обладающих одинаковыми (в рамках определенных ограничений) свойствами. Выделив множества, можно производить соответствующие операции над ними, то есть, ставя их в определенные отношения друг с другом, перейти к композиции системы:

Символом R здесь обозначаются отношения между элементами или множествами в случае, если не определен характер этих отношений. Решение задачи композиции системы заключается в определении характера взаимоотношений между элементами или множествами, то есть в замене символа R соответствующим знаком – оператором. Выяснение характера взаимоотношений между множествами или их элементами и возможные преобразования выражения (3.2) выполняются на основе определенных правил: законов, аксиом.

Таким образом, теоретико-множественные формулы переводят систему Sx языка реальности в абстрактную систему, описываемую искусственным языком, имеющим соответствующий словарь (множество элементов, множество состояний, множество признаков и т.д., отображенных определенными символами) и правила образования новых понятий – композиций (множество отношений, законов, аксиом). Сложность языка определяется сложностью отображаемой системы и допустимой степенью абстрагирования.

Благодаря тому, что при теоретико-множественных представлениях систем и процессов в них можно вводить любые отношения, эти представления:

служат хорошим языком, с помощью которого облегчается взаимопонимание между представителями различных областей знаний;

могут являться основой для возникновения новых научных направлений, для создания языков моделирования, языков автоматизации проектирования.

Однако свобода введения любых отношений приводит к тому, что в создаваемых языках моделирования трудно ввести правила, закономерности, используя которые формально, можно получить новые результаты, адекватные реальным моделируемым объектам и процессам (как это позволяют делать аналитические и статистические методы). Поэтому первоначально при применении теоретико-множественных представлений стремились использовать ограниченный набор отношений.

2.4 Логические методы

Логические отображения являются частным случаем теоретико-множественных отображений. Они переводят реальную систему и отношения в ней на язык одной из алгебр логики (двузначной, многозначной), основанных на применении алгебраических методов для выражения законов формальной логики (рис.5).

Рисунок 5 - Логические отображения

Наибольшее применение получила бинарная алгебра логики Буля (булева алгебра). Алгебра логики оперирует понятиями: высказывание, предикат, логические операции (логические функции, кванторы). В ней доказываются теоремы, приобретающие затем силу логических законов, применяя которые, можно преобразовать систему из одного описания в другое с целью ее совершенствования: можно, например, получить более простую структуру (схему), содержащую меньшее число состояний, элементов, но осуществляющую требуемые функции.

Логические методы представления систем относятся к детерминированным. На базе математической логики созданы и развиваются теории логического анализа и синтеза, теория автоматов. На основе логических представлений первоначально начинали развиваться некоторые разделы теории формальных языков. В силу ограниченности смысловыражающих возможностей бинарной алгебры логики в последнее время имеются попытки создания многозначных алгебр логики с соответствующими логическими базисами и теоремами.

Логические методы применяются при исследовании новых структур систем разнообразной природы (технических объектов, текстов и др.), в которых характер взаимодействия между элементами еще не настолько ясен, чтобы было возможно их представление аналитическими методами, а статистические исследования либо затруднены, либо не привели к выявлению устойчивых закономерностей. В то же время следует иметь в виду, что с помощью логических алгоритмов можно описывать не любые отношения, а лишь те, которые предусмотрены законами алгебры логики и подчиняются требованиям логического базиса.

Логические представления нашли широкое практическое применение при исследовании и разработке автоматов разного рода, автоматических систем контроля, а также при решении задач распознавания образов. Логические представления лежат в основе теории автоматов. На их базе развиваются прикладные разделы теории формальных языков.

В то же время смысловыражающие возможности логических методов ограничены базисом и функциями алгебры логики и не всегда позволяют адекватно отобразить реальную проблемную ситуацию. Попытки же создания многозначных алгебр логики на практике пока не находят широкого применения из-за сложности создания логического базиса и доказательства формальных теорем многозначной алгебры логики.