Системы чёт-нечет

3. Системы чёт-нечет

 

Рассмотрим систему

(8)

Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а) Функция  непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (8) имеет единственное решение;

б) Правая часть системы (8) -периодична по .

Лемма 8 Пусть система (8) удовлетворяет условиям а) и б). Тогда продолжимое на отрезок  решение  этой системы будет -периодическим тогда и только тогда, когда

где

– есть нечетная часть решения .

Доказательство. Пусть  – -периодическое решение системы (8). Тогда

Необходимость доказана.

Пусть  – решение системы (8), для которого . Тогда

и поэтому

Таким образом, точка  есть неподвижная точка отображения за период, а решение  – -периодическое.

Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения

сводит к вычислению одного из значений нечетной части . Иногда относительно  можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (8). Дифференцируемые функции

удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:

(9)

так как

решение системы (8). Заменяя в тождестве (9)  на  и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество –

(10)

Из тождеств (9) и (10) найдем производные:

Таким образом вектор-функция

(11)

удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка :

(12)

При этом

Систему (12) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (8). решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.

4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Сделаем преобразования и приведем подобные

Таким образом:

Сделаем проверку, для этого в исходную систему подставим полученное решение:

Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.

Четная часть общего решения:

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Сделаем преобразования и приведем подобные

Таким образом:

Сделаем проверку:

Четная часть общего решения

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Получили два решения  и .

1) ;

2) ;

Сделаем проверку для :

Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.

Сделаем проверку для :

Отсюда видно, что  не являются решением для исходной системы.

Таким образом:

Четная часть общего решения

Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:

где  и  – нечетные функции, а четная часть представлена константой.

; ;

(13)

Системы вида (13) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. В этом легко убедится, проделав вычисления, аналогичные предыдущим примерам.