Основные сведения из теории отражающих функций

2. Основные сведения из теории отражающих функций

Рассмотрим систему

(1)

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через  обозначим интервал существования решения

Пусть

Определение: Отражающей функцией системы (1) назовем дифференцируемую функцию

определяемую формулой

(2)

 

или формулами

Для отражающей функции справедливы свойства:

1) Для любого решения

системы (1) верно тождество

(3)

2) Для отображающей функции  любой системы выполнены тождества:

(4)

3) Дифференцируемая функция

будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

(5)

и начальному условию

(6)

Уравнение (5) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения (2). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения  системы (1) верны тождества

Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку  проходит некоторое решение  системы (1), и следуют тождества (5).

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть  – отражающая функция системы (1). Тогда для неё верно тождество (3). Продифференцируем это тождество по  и воспользуемся тем, что  – решение системы (1), и самим тождеством (3). Получим тождество

из которого в силу произвольности решения  следует, что  – решение системы (5). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция  удовлетворяет системе (5) и условию (6). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (5) – (6) функция  должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Лемма Основная лемма 3 Пусть правая часть системы (1) -периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы (1) можно найти по формуле

и поэтому решение

системы (1) будет -периодическим тогда и только тогда, когда  есть решение недифференциальной системы

(7)

В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.

Утверждение 4 Пусть непрерывно дифференцируемая функция  -периодична и нечетна по , т.е.

и . Тогда всякое продолжение на отрезок  решение системы (1) будет -периодическим и четным по .

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция  удовлетворяет уравнению (5) и условию (6). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (7) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение

Согласно основной лемме любое продолжимое на  решение системы (1) будет -периодическим. Четность произвольного решения  системы (1) следует из тождеств

справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.

Справедливы следующие утверждения [4].

Теорема 5 Пусть все решения системы (1) -периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция  этой системы -периодична по

Теорема 6 Пусть система (1) -периодична по  а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех  Если, кроме того, отражающая функция этой системы -периодична по  то все решения системы (1) периодичны с периодом

Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы (1) продолжимы на отрезок  При этом заключение о -периодичности можно сделать лишь для тех решений, которые существуют при всех

Из -периодичности отражающей функции следует -периодичность всех продолжимых на  решений периодической системы (1). Из -периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря, -периодичность решений -периодической системы, хотя следует их -периодичность.

Не следует думать, что если все решения -периодической системы -периодичны, то ее отражающая функция обязана быть -периодической. Этому противоречит пример уравнения

В случае, когда , т.е. когда система (1) вырождается в уравнение, верна

Теорема 7 Пусть уравнение (1) -периодично по  а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех  Тогда для того, чтобы все решения уравнения (1) были -периодичны, необходима и достаточна -периодичность по  отражающей функции этого уравнения.