Семейства решений с постоянной четной частью

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Курсовая работа

"Семейства решений с постоянной четной частью"

Гомель, 2005

Реферат

В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.

В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

Библиография – 5 названий.

Содержание

Введение

1. Определение и свойства отражающей функции

2. Простейшая система

3. Система чет-нечет

4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

5. Семейства решений с постоянной четной частью

Заключение

Литература

Введение

Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.

Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

1. Определение и свойства отражающей функции

Рассмотрим систему

, (1.1)

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через  обозначим интервал существования решения

Пусть

.

 

Определение: Отражающей функцией системы (1.1) назовем дифференцируемую функцию , определяемую формулой  (*) или формулами .

Для отражающей функции справедливы свойства:

1). Для любого решения , системы  верно тождество

; (1.2)

2). Для отображающей функции  любой системы выполнены тождества:

; (1.3)

3). Дифференцируемая функция  будет отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

(1.4)

и начальному условию

. (1.5)

Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

► Свойство 1) следует непосредственно из определения (*). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения  системы (1) верны тождества . Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку  проходит некоторое решение  системы (1.1), и следуют тождества (1.3).

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть  – отражающая функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем это тождество по  и воспользуемся тем, что  – решение системы (1.1), и самим тождеством (1.2). Получим тождество

 

из которого в силу произвольности решения  следует, что  – решение системы (1.4). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция  удовлетворяет системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (1.4) – (1.5) функция  должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Основная лемма. Пусть правая часть системы (1.1)  – периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле

,

и поэтому решение  системы (1.1) будет  – периодическим тогда и только тогда, когда  есть решение недифференциальной системы

(1.6)

В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция   – периодична и нечетна по , т. е.  и . Тогда всякое продолжение на отрезок  решение системы (1.1) будет  – периодическим и четным по .

Для доказательства достаточно заметить, что функция  удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение . Согласно основной лемме любое продолжимое на  решение системы (1.1) будет  – периодическим. Четность произвольного решения  системы (1.1) следует из тождеств , справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.