Навигация
Загальний висновок. Результат, отриманий раніше для дуже приватного прикладу, справедливий і у разі загальної системи рівнянь (1)
30199
знаков
0
таблиц
37
изображений
3. Загальний висновок. Результат, отриманий раніше для дуже приватного прикладу, справедливий і у разі загальної системи рівнянь (1).
А саме, метод Гауса з вибором головного елементу по стовпцю можна записати у вигляді:
(20)
де 
- елементарні матриці перестановок такі, що 
і 
- елементарні нижні трикутні матриці.
Звідси, використовуючи співвідношення перестановленості, аналогічні (19), можна показати, що метод Гауса з вибором головного елементу еквівалентний звичайному методу Гауса, застосованому до системи
PAx=Pf (21)
де Р - деяка матриця перестановок.
Теоретичне обгрунтування методу Гауса з вибором головного елементу міститься в наступній теоремі.
ТЕОРЕМА 1. Якщо 
то існує матриця перестановок Р така, що матриця РА має відмінні від нуля кутові мінори.
Наслідок. Якщо то існує матриця престанавок Р така, що справедливе розкладання
РА=LU, (22)
де L- нижня трикутна матриця з відмінними від нуля діагональними елементами і U- верхня трикутна матриця з одиничною головною діагоналлю. В цьому випадку для розв’язання системи (1) можна застосовувати метод Гауса з вибором головного елементу.
1.4 Алгоритм знаходження рангу матриці
Нехай потрібно обчислити ранг матриці 
розмірів 
. Якщо матриця нульова, то за означенням маємо 
. В іншому випадку за допомогою перестановки рядків і стовпців матриці добиваємося того, щоб у лівому верхньому куті матриці стояв ненульовий елемент. Отже, вважаємо, що 
.
Перший рядок залишаємо без змін. До другого рядка додаємо перший, помножений на число 
. У результаті другий рядок приймає вигляд: 
Потім до третього рядку додаємо перший рядок, помножений на число 
. У результаті третій рядок приймає вигляд: 
Процес продовжуємо до тих пір, поки не отримаємо нуль на першому місці в останньому рядку. Перетворена матриця має вигляд:
Якщо всі рядки, починаючи з другої, в отриманій матриці нульові, то її ранг дорівнює 1, тому що є мінор першого порядку, відмінний від нуля 
. В іншому випадку перестановкою рядків і стовпців матриці з номерами більше одиниці, домагаємося, щоб другий елемент другого рядка був відмінний від нуля. Отже, вважаємо, що 
.
Перший і другий рядки залишаємо без змін. До третього рядка додаємо другий, помножений на число 
. В результаті отримаємо, що другий елемент третього рядка дорівнює нулю. Потім до четвертого рядка додаємо другий, помножений на число 
, і т.д. В результаті отримуємо матрицю:
Якщо всі рядки, починаючи з третього, нульові, то 
, так як мінор:
В іншому випадку перестановкою рядків і стовпців з номерами, більшими двох, домагаємося, щоб третій елемент третього рядка був відмінний від нуля. Далі, додаванням третього рядка, помноженого на відповідні числа, до рядків з великими номерами отримуємо нулі в третьому стовпці, починаючи з четвертого елемента, і т.д.
На деякому етапі ми прийдемо до матриці, у якої всі рядки, починаючи з 
-ого, дорівнюють нулю (або відсутні при 
), а мінор у перших 
рядках і перших стовпцях є визначником трикутної матриці з ненульовими елементами на діагоналі. Ранг такої матриці дорівнює . З цього слідує, що 
.
Зауваження 1. У запропонованому алгоритмі знаходження рангу матриці всі обчислення повинні здійснюватись без заокруглень. Наскільки завгодно мала зміна хоча б в одному з елементів проміжних матриць може призвести до того, що отримана відповідь буде відрізнятися від рангу вихідної матриці на кілька одиниць.
Зауваження 2. Якщо у вихідній матриці елементи були цілими числами, то й обчислення зручно проводити без використання дробів. Тому на кожному етапі доцільно множити рядки на такі числа, щоб при обчисленнях дроби не виникали.
Властивість 1. При транспонування матриці її ранг не змінюється.
Властивість 2. Ранг матриці не змінюється при перестановці її стовпців (рядків).
Властивість 3. Ранг матриці не змінюється при збільшенні всіх елементів її стовпця (рядка) на відмінне від нуля число.
Властивість 4. Ранг матриці не зміниться, якщо до одного з її стовпців (рядка) додати інший стовпець (рядок), помноживши його (її) на деяке число.
Властивість 5. Ранг матриці не зміниться, якщо видалити з неї стовпець (рядок), що складається з одних нулів.
Властивість 6. Ранг матриці не зміниться, якщо видалити з неї стовпець (рядок), що є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).
Розділ 2. Практична реалізація
Похожие работы
... ’язок де С1, С2 - довільні сталі. Загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь подається не в одному й тому самому вигляді. 2. Метод Гауса Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь (1) до трикутного вигляду (2) Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт . Якщо ця ...
... . Істотним недоліком цього методу є неможливість сформулювати умови сумісності і визначеності системи залежно від значень коефіцієнтів і вільних членів. З іншого боку, навіть для визначеної системи цей метод не дає змоги знайти загальні формули, що визначають розв’язки системи через її коефіцієнти і вільні члени, які необхідно мати для теоретичних досліджень. Існують й інші методи розв’язування і ...
... чного сплайну. ; . Для знаходження коефіцієнті вкубічного сплайну призначена програма Work2_2. //------------------------------------------------------------ // Work2_2.cpp //------------------------------------------------------------ // "Числові методи" // Завдання 2 // Інтерполювання функції кубічним сплайном #include <stdio.h> #include <iostream.h> #include <conio ...
... (меньше 0,33%) одного з вільних членів системи (3) зовсім змінило розв’язок системи. На щастя, на практиці системи рівнянь, погано обумовлені, зустрічаються дуже рідко. 1.2 Методи розв’язування задачі Метод Жордана-Гаусса був розроблений двома вченими Жорданом та Гаусом (ві яких і пішла назва методу). Цей метод вони помітили після довгої практики роботи з системами рівнянь. Це можна ...
0 комментариев