Моделювання конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

1.1.2. Моделювання конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

Процес масопереносу розчинних у підземних водах речовин описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку зі змінними коефіцієнтами, яка у випадку двовимірної плоско-вертикальної (профільної) сталої фільтрації підземних вод за умови сталості коефіцієнта конвективної дифузії має такий вигляд:

(1.45)

(1.46)

 (1.47)

де D - коефіцієнт конвективної дифузії в м/сут, c й N - концентрація речовин, що дифундують, у г/л або кг/м відповідно в рідкій і твердій фазах; v_x(x, y, t) і v_y(x, y, t) - координати вектора швидкості фільтрації в м/сут; σ - пористість або активна пористість ґрунту, у якому відбувається рух вод і конвективная дифузія розчинної речовини; α - постійна масообміну (швидкості сорбції); c₀ - початкова концентрація речовини в рідкій фазі; β - коефіцієнт розподілу речовини між рідкою й твердою фазами в умовах рівноваги за законом лінійної ізотерми Генрі, що виражається рівністю c_p = βN, причому через c_p позначена рівноважна концентрація розчину, по величині рівна кількості речовини, що поглинає твердою фазою;  - потенціал швидкості фільтрації; χ - коефіцієнт фільтрації в м/сут;  - напір в м; p-тиск у
Н(м² =кг/м·c² ); ρ - щільність у кг/м³; g - прискорення сили ваги в м/с².

Розглянемо конвективну дифузію тих розчинних речовин, які нейтральні до наявних у ґрунті породам, тобто надалі сорбцією й іншими видами поглинання забруднюючі підземні води компонентів знехтуємо й будемо виходити з наступної системи рівнянь фільтрації й конвективної дифузії (гідравлічної дисперсії):

(1.48)

(1.49)

При конвективній дифузії речовин, що забруднюють підземні води, на вході АВ фільтраційного потоку можна прийняти одне з наступних граничних умов:

а) задана концентрація розчиненого у водоймі (ріці) речовини

(1.50)

б) задана умова Данквертса, що враховує як конвективний, так і дифузійний механізми відводу речовини на водопроникній ділянці границі області фільтрації

(1.51)

де n - нормаль до границі; v_n - нормальна складова швидкості фільтрації.

На водонепроникних ділянках границі області фільтрації й на криві депресії виконується умова

(1.52)

На ділянці виходу фільтраційного потоку (CD) можна приймати одне з наступних граничних умов:

а)задана концентрація речовини, що дифундує, або задана умова Данквертса (такі умови приймаються, якщо не спостерігається інтенсивного відводу вод на виході фільтраційного потоку)

(1.53)

б) задана умова, що враховує тільки конвективний перенос через границю (у випадку інтенсивного відводу вод на виході фільтраційного потоку)

 (1.54)

При конвективній дифузії солей і гіпсів, що залягають на певній глибині T фільтраційного потоку, на границі із сіллю або гіпсом звичайно приймається умова

 (1.55)

де  - концентрація повного насичення солі або гіпсу.

Початкові умови засолення підземних вод, мають вигляд

(1.56)

де c₀ - задана концентрація речовини, що дифундує, в області фільтрації в момент часу до настання процесу забруднення (засолення) або промивання підземного середовища.

Трудність, що виникає при рішенні стаціонарних і нестаціонарних крайових завдань, що описують двовимірні процеси, зв'язана не тільки з видом рівнянь у частинних похідних і з видом граничних умов, а головним чином з видом (геометрією) області, у якій відшукується рішення. У зв'язку із цим у рівняннях конвективної дифузії й у наведених вище граничних умовах доцільно перейти до нових незалежних змінних координат комплексного потенціалу ω, що, як відомо, має вигляд багатокутника зі сторонами, паралельними прямокутній системі координат.

Нехай відома характеристична функція течії

(1.57)

яку можна знайти, наприклад, методом конформних відображень. Тоді, зробивши в рівнянні конвективної дифузії (1.49) заміну змінних  й  одержимо наступне рівняння.

Взявши середню величину , що входить у праву частину рівняння (1.49) по області наведеного комплексного потенціалу , і заміняючи її деякою середньою величиною , розглянемо два типи нестаціонарних крайових завдань.

Перший тип крайових завдань виникає при фільтрації забруднених вод у відкриті водойми (водоймища), коли в останні підтримується задана концентрація речовин. Ці задачі формулюються в такий спосіб: потрібно знайти рішення  рівняння

(1.58)

задовольняючій або граничній умовам виду (перша задача)

(1.59)

або умовам, що враховують механізм дифузійного відводу речовини від границі на вході фільтраційної течії (друга задача):

 (1.60)

і початковій умові

(1.61)

Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що рішенням двовимірних крайових завдань (1.58), (1.59), (1.61) і (1.58), (1.60), (1.61) будуть функції  й , що є рішеннями відповідних одномірних крайових завдань:

(1.62)

(1.63)

(1.64)

(1.65)

Підставляючи це рішення у вигляді суми рішень стаціонарного й нестаціонарного завдань і застосовуючи метод поділу змінних, одержимо рішення нестаціонарних завдань конвективної дифузії, які після розподілу на c₁ і введення безрозмірних величин  і  запишуться в наступному вигляді.

(1.66)

(1.67)

де власні значення  й  визначаються рівняннями

(1.68)

 (1.69)

Коефіцієнти  й  обчислюються за формулами

(1.70)

  (1.71)

Другий тип крайових задач конвективної дифузії підземної води, речовин що забруднять, характеризується гарничною умовою, що приймається на виході фільтраційного потоку, коли спостерігається інтенсивний відвід із дренажного каналу CD. У цьому випадку рішенням стаціонарних задач буде стала, значення якої залежить від крайової умови на вході фільтраційного потоку.

Тому перейдемо до розгляду нестаціонарних завдань. Осереднюючи швидкість фільтрації по просторовим змінним, приходимо до наступних двох крайових завдань: Потрібно знайти рішення рівняння

(1.72)

задовольняючим крайовим умовам:

 (1.73)

а у випадку обліку механізму дифузійного відводу речовини на вході фільтраційного потоку (друга крайова задача) потрібно знайти вирішення  рівняння

(1.74)

задовольняючим крайовим умовам:

(1.75)

Застосування методу Фур'є до крайової задачі(1.72)-(1.73) дає вирішення

(1.76)

де , функція  визначається рівностями

(1.77)

(1.78)

Коефіцієнти  обчислюються по наступній формулі:

. (1.79)

Рішення крайової задачі (1.74)-(1.75) одержуємо в наступному виді:

(1.80)

де коефіцієнти  обчислюються по формулі

(1.81)

а власні значення λ_n визначаються з рівняння

λ_n = (1.82)

Замість власних значень λ_n можна шукати значення v = λ + µ² з рівняння

(1.83)

Таким чином, отримані аналітичні рішення всіх основних крайових завдань конвективної дифузії, забруднюючих воду, речовин за умови осереднення швидкості фільтрації по просторових координатах.

1.1.3. Моделювання масопереносу у випадку D=D( ) при наявності масообміну

Вихідні рівняння. Процес масопереносу розчинних речовин (солей, гіпсів й ін.) при фільтрації підземних вод можна описати наступною системою диференціальних рівнянь у частинних похідних:

(1.84)

 (1.85)

(1.86)

де  - вектор швидкості фільтрації;  - потенціал швидкості фільтрації; χ - коефіцієнт фільтрації;  - дифузійний потік або вектор масової швидкості розчиненої речовини (вектор кількості речовини, що переноситься через одиницю площадки за одиницю часу);  і  - концентрації речовини відповідно в рідкій і твердій фазах;  - коефіцієнт конвективної дифузії (D_m - коефіцієнт молекулярної дифузії), σ - активна (або ефективна) пористість середовища;  - оператор Гамільтона, α - постійна швидкості масообміну; β - коефіцієнт розподілу речовини між фазами в умовах рівноваги при лінійній ізотермі Генрі

 (1.87)

де Γ - коефіцієнт Генрі.

У багатьох практичних задачах як рівняння кінетики масообміну береться одне з наступних рівнянь.

1) при кристалізації або розчиненні компонентів породи у фільтрівній воді

(1.88)

де  - коефіцієнт насичення:

2) при нерівномірній необоротній сорбції або десорбції відповідно

(1.89)

3) при рівноважній сорбції або десорбції відповідно

(1.90)

(1.91)

де  (або ) - так звана ефективна пористість або масооб’єм поглинання (виділення) речовини породою.

Надалі як рівняння кінетики беремо рівняння (1.88), що є в математичному відношенні найбільш загальним з наведених вище. Тому у випадку плоско-вертикальної сталої фільтрації система рівнянь масопереносу запишеться у вигляді

(1.92)

(1.93)

Припустимо, що вирішено фільтраційне завдання й визначений комплексний потенціал фільтрації  як деяка аналітична функція . Тоді область комплексного потенціалу  буде конформно відображатися на область фільтрації z функцією

(1.94)

названою зазвичай характеристичною функцією течії ( - функція потоку). Доцільно перетворити рівняння конвективної дифузії (1.93) за допомогою заміни (1.94) до нових незалежних змінних  й . При такому конформному перетворенні варто враховувати прийняте припущення про залежність коефіцієнта конвективної дифузії D_y від швидкості фільтрації v. Крім того, варто взяти до уваги, що величина коефіцієнта конвективної дифузії D_y залежить не тільки від величини швидкості фільтрації, але й від її напрямку як тензор, і при рішенні крайових завдань конвективної дифузії, як правило, швидкість фільтрації осереднюється або по всій області комплексного потенціалу, або по одній з координат точок цієї області.

У зв'язку із цим доцільно робити осереднення коефіцієнта конвективної дифузії в новій системі координат окремо уздовж еквіпотенциальних ліній й уздовж лінії струму. Тим самим уводиться поняття коефіцієнта поперечної конвективної дифузії D і коефіцієнта поздовжньої конвективної дифузії D . Таким чином, у результаті перетворення рівняння (1.93) до нових змінних одержимо

(1.95)

Якщо ввести безрозмірні величини

то рівняння (1.95) запишеться у вигляді

(1.96)

де H - діючий напір.

Одержання рішення при осереднені швидкості фільтрації.

При вивченні процесів міграції промислових або побутових стічних вод, що скидають у водойму, а також при розрахунку виносу ядохімікатів або добрив із сільськогосподарських угідь, розглянутих у вигляді смуги певної ширини, виникає необхідність визначення якісного складу підземних вод, ступеня їхнього забруднення або мінералізації. Рішення всіх цих важливих питань зводиться до розгляду відповідних крайових завдань фільтрації й конвективної дифузії, фільтраційні задачі для яких розглянуті вище.

Будемо вирішувати крайову задачу конвективної дифузії при осереднені швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу , потім розглянемо випадок осереднення швидкості фільтрації по одній з координат області комплексного потенціалу  або . Опускаючи риски над безрозмірними величинами в рівнянні (1.96), в області  шукаємо рішення рівняння

 (1.97)

де

при наступних граничних і початкових умовах:

(1.98)

(1.99)

причому через c₁ позначена концентрація речовини у водоймі АВ, а через c₀ - концентрація речовини в підземних водах у початковий момент часу t₀ = 0 . Рішення крайової задачі (1.97)-(1.99) будемо шукати у вигляді

(1. 100)

де функція  знаходиться як рішення стаціонарної задачі

 (1. 101)

(1. 102)

а функція  знаходиться в результаті рішення нестаціонарної крайової задачі

  (1. 103)

(1. 104)

 (1. 105)

Функція, що задовольняє рівнянню (1.101) і граничним умовам (1.102), не залежить від змінної ψ, а крайова задача (1.101),(1.102) еквівалентна наступній:

 (1. 106)

Вирішивши крайову задачу, знайдемо

(1. 107)

де

Розглянемо тепер задачу

 (1. 108)

Загальна схема методу Фур'є. Рішення крайової задачі шукаємо у вигляді . Підставивши це рішення в (1.108), одержимо:

 (1. 109)

Із цієї рівності, з огляду на граничні умови, приходимо до задачі на власні значення

(1. 110)

Загальне рішення цього рівняння має вигляд

(1. 111)

Використовуючи граничні умови, одержимо рівняння для визначення всіх власних значень задачі.

з якого після перетворення й введення величини  одержуємо рівняння для визначення всіх власних значень

(1. 112)

Шукані власні функції запишуться у вигляді

(1. 113)

Тоді

. (1.114)

З рівності (1.109) для кожного λ_m одержуємо рівняння

(1. 115)

рішення якого має вигляд

(1. 116)

З огляду на (1.113) і (1.116), записуємо часткові рішення вихідного крайової задачі у вигляді

(1. 117)

а шукане рішення крайової задачі (1.105), (1.106) у силу узагальненого принципу суперпозиції запишеться у вигляді

(1. 118)

Використовуючи початкові умови, знаходимо коефіцієнти  у вигляді

(1. 119)

де r₁, r₂ визначаються рівностями (1.104), а µ₁ = 1/(2D₁) .

Таким чином, рішення вихідної крайової задачі (1.97)-(1.99) у випадку осереднення швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу ω не залежить від ψ і має такий вигляд:

(1. 120)

Якщо у виразах (1.119),(1.120) покласти γ* = 0, c* = 0, r₁ = 0 , r₂ = =1/D₁= 2µ₁ = 2µ, то одержимо рішення задачі про забруднення підземних вод без обліку масообміну, розглянуте раніше, а саме:

(1. 121)

де

 (1. 122)

Моделювання процесу очищення (промивання) засолених земель

Нехай промивання засолених земель відбувається в результаті поливу прісною водою поверхні ґрунту й відводу вод за допомогою одиночної дрени або за допомогою системи дрен. У цьому випадку для кожної з фільтраційних схем, що зустрічаються, область комплексного потенціалу зображується у вигляді прямокутника.. Тому питання вивчення процесу промивання підземного середовища зводиться до рішення в прямокутнику ABCD наступної крайової задачі.

 (1.123)

(1. 124)

Бачимо, що ця крайова задача збігається із крайовою задачею (1.97)-(1.99), якщо покласти c₁ = 0 , c₀ = c_н, а отже, рішення задачі (1.123) -(1.124) виходить із рішення (1.122), якщо c₁ = 0 , c₀ = c_н.

Конвективная дифузія у випадку планової фільтрації

Розглянемо такі схеми руху підземних вод, коли виконуються відомі передумови гідравлічної теорії фільтрації. Тоді у випадку сталої або квазіустановленої планової фільтрації рівняння руху підземних вод запишуться у вигляді

(1. 125)

а у випадку планової безнапірної фільтрації - у вигляді

 (1. 126)

де T - потужність напірного водоносно шару, q - вектор питомої фільтраційної витрати (м²/сут), a h - напір, що у випадку, коли вісь апплікат спрямована вертикально вниз, визначається рівністю

(1. 127)

Припускаючи, що для кожного із плинів відома область комплексного потенціалу ω і функція, що відображає (1.94)

(1. 128)

перетворимо тривимірне рівняння конвективної дифузії, що у розглянутих випадках має вигляд

(1. 129)

до нових змінних за допомогою підстановки

(1. 130)

Тоді у випадку планової напірної фільтрації рівняння конвективної дифузії перетвориться до виду

(1. 131)

а у випадку планової безнапірної фільтрації до такому виду

(1. 132)

При осереднені величини  по області комплексного потенціалу ω питання про дослідження міграції водорозчинних речовин зводиться до відшукання в прямокутному паралелепіпеді ωЧT (або ω Ч h_cp) рішення наступної крайової задачі.

 (1. 133)

 (1. 134)

(1. 135)

 (1. 136)

Крайова задача (1.133) (1.136) еквівалентна крайовій задачі типу (1.97)-(1.99), а тому її рішення, що не залежить від ψ від Z , запишеться у вигляді (1.120). При цьому варто врахувати, що замість безрозмірних величин (1.98) варто ввести безрозмірні величини, які визначаються іншими рівностями окремо для випадку напірної й безнапірної планової фільтарції. Якщо ж розглядається процес засолення підземних вод, що відбувається в результаті дифузії залягаючих на глибині T* солей, то замість крайових умов (1.136) необхідно взяти наступні:

(1. 137)

Рішення крайової задачі (1.133)-(1.135), (1.136) можна одержати тільки за допомогою чисельних методів, а у випадку, коли величина питомої фільтраційної витрати осереднюеться тільки по одній зі змінних  або ψ, рішення відповідних крайових задача можна знайти за допомогою методу Фур'є в сполученні з варіаційними методами.

Похожие работы

Моделювання забруднення ґрунтів

Скачать

35924

3

4

... що концентрація речовини, яка поглинається снігом, пропорційна наземній концентрації. Застосовуючи тепер метод прямих до рівняння (6) для розрахунку забруднення по однорідному профілю, отримаємо рівняння:  (8) 5. Моделювання забруднення ґрунту пестицидами Одним із найбільш важливих інтегральних показників, які відбивають кінцевий результат взаємодії пестицидів, середовища і зовнішніх ...

Вплив на атмосферу підприємств харчової промисловості та шляхи його зниження (на прикладі ВАТ "Жашківський маслозавод")

Скачать

73446

5

6

... параметрів очисного пристрою; проектування та вибір очисного пристрою або фільтра 3.2 Заходи по охороні атмосферного повітря на ВАТ "Жашківський маслозавод" Основними й найбільш дійовими методами боротьби з забрудненням атмосфери на підприємстві є екологічні, діє продумана система заохочувальних і заборонних заходів, які допомагають запобігти забрудненню. Впровадження підприємством певних ...