Навигация
Нормированные пространства
19857
знаков
0
таблиц
0
изображений
1.2 Нормированные пространства
Определение: Множество 
называется нормированным пространством, если:
1) – линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.
2) Для каждого элемента 
определено вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое 
, и выполнены условия:
а) 
для любого ; 
б) 
для любого и любого 
;
в) 
, для любых 
([1], стр. 138).
Примеры нормированных пространств:
1. Пространство 
становится нормированным, если положить 
.
2. Пространство 
с элементами 
нормировано, при условии 
.
3. Пространство 
функций, непрерывных на отрезке 
, нормировано, если взять 
.
([1], стр. 139).
1.3 Банаховы пространства
Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и 
называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое 
и подчиненное трем аксиомам:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
Определение: Последовательность 
точек метрического пространства 
называется фундаментальной, если 
при 
.
Справедливы утверждения:
1. Если последовательность 
сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна.
Доказательство:
Пусть 
, тогда 
, при 
2. Всякая фундаментальная последовательность ограничена.
Определим расстояние в нормированном пространстве 
, полагая для любых 
. Тогда означает, что 
. Это сходимость по норме.
Фундаментальная последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием
, при
Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.
Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.
([2], стр. 137)
Похожие работы
Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора
... состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет. Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А: (для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: , то есть мы должны ...
... : µ§. Шары такие : µ§ и µ§, причем: µ§ , µ§. µ§ µ§ Если µ§ ,то: µ§ , µ§ µ§ µ§ µ§ µ§ Теорема доказана. Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. µ§ µ§ (1) µ§ µ§ (2) µ§ - это не гарантирует существование решения. µ§ Теорема. Задача (1) (2) может иметь не более одного ...
... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = ...
... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА ...
0 комментариев