Возведение обеих частей уравнения в квадрат
Стандартные иррациональные уравнения
Иррациональные уравнения, которые решаются введением новой переменной
Применение основных свойств функции
Использование ограниченности функции
Использование наибольшего и наименьшего значений функции
Иррациональные показательные уравнения
Навигация
Использование наибольшего и наименьшего значений функции
Иррациональные уравнения
36308
знаков
0
таблиц
4
изображения
3.2.2 Использование наибольшего и наименьшего значений функции
Справедливы следующие утверждения:
1) наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции, принимаемое на интервале 
может достигаться в тех точках интервала , в которых ее производная равна нулю или не существует (каждая такая точка называется критической точкой);
2) чтобы найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке
функции, имеющей на интервале (а;b) конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу (а;b), а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее;
3) если в критической точке 
функция непрерывна, а ее производная, проходя через эту точку, меняет знак с «минуса» на «плюс», то точка - точка минимума, а если ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то - точка максимума.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение. Найдем ОДЗ переменной x.
ОДЗ: 
.
Рассмотрим непрерывную функцию 
на отрезке [2;4], где D(f)=[2;4].
Функция f(x) на интервале (2;4) имеет производную:
, обращаются в ноль только при х=3.
Т.к. функция f(x)непрерывна на отрезке [2;4], то ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел f(3);f(2);f(4). Т.к. f(3)=2;f(2)=f(4)=
, 
, то наибольшее значение f(x) есть f(3)=2.
Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень: 3.
О т в е т:{3}.
4. Смешанные иррациональные уравнения и методы их решения
4.1 Иррациональные уравнения, содержащие двойную иррациональность
Пример 1. Решить уравнение 
Решение. Возведем обе части уравнения в куб.
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат. 
Введем новую переменную. Пусть 
, тогда 
. Получаем, что 
. Тогда 
.
Выполним обратную замену. 
Или 
.
Тогда 
или 
Проверка показывает, что 
не является корнем данного уравнения, а 1- является.
О т в е т: {1}.
Пример 2. Решить уравнение 
Решение.
Введем новую переменную. Пусть 
. Тогда 
Тогда система примет следующий вид:
О т в е т: 
Пример 3. Решить уравнение 
Решение. Введем новую переменную. Пусть 
. Тогда 
. Получаем, что
.
Т.к. 
, то данное уравнение равносильно следующему: 
Получаем, что 
. Учитывая, что , то решения: 
. Следовательно, 
.
Выполним обратную замену. 
. Тогда 
О т в е т: [-4;0].
Пример 4. Решить уравнение 
Решение. Преобразуем подкоренные выражения.
Вернемся к исходному уравнению.
Последнее уравнение решим методом интервалов.
1. Пусть 
. Получаем, что
.
Т.к. , то на данном промежутке уравнение не имеет корней.
2. Пусть 
. Получаем, что 
Равенство верно. Найдем все значения 
из данного промежутка.
. Следовательно, 
3. Пусть 
. Получаем, что 
. Т.к. , то на данном промежутке уравнение не имеет корней.
Замечание. Данное уравнение можно решать, выполнив замену переменной 
. После решения исходного уравнения относительно переменной 
, выполнив обратную замену, найдем корень уравнения.
О т в е т: [0;3].
Замечание. Выражение вида 
обычно называют двойным радикалом или сложным радикалом.
Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то можно в двойном радикале освободиться от внешнего радикала, воспользовавшись равенством 
.
Преобразование двойных радикалов.
Упражнение 1. Освободиться от внешнего радикала в выражении 
.
Решение. Слагаемое 
можно рассматривать как удвоенное произведение чисел 
и 
или чисел 
и 
. Число 7 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Подбором находим, что это условие выполняется для чисел и , т.е. 
.
Получаем, что
О т в е т:
.
Похожие работы
... введение нового(новых) неизвестного. Пример 2. Обозначим , тогда а) Уравнение примет вид: Корень не удовлетворяет условию Ответ: 76. Методы решения иррациональных уравнений. Методы решения иррациональных уравнений, как правило основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному, либо ...
... , т.к. . б) , т.к. . в) . Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n=-1, n=1, n=0. 1) Если n<-1, то 2) Если -1£n<0, то 3) Если 0<n<1, то 4) Если n³1, то Ответ: II. Иррациональные уравнения. Рассмотрим уравнение вида . Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть ...
... по способам решения иррациональных неравенств вида , рассмотрена подробно, изложение теории строгое. Только в учебнике Виленкина рассматривается решение иррационального неравенства вида . Наиболее большой объем упражнений для решения иррациональных уравнений и неравенств представлен в учебниках [11] и [5]. В учебнике [4] упражнений не много, но они разнообразны. Основные понятия, относящиеся к ...
... литературы дается характеристика этих форм, разработана методика применения самостоятельной работы вместе с иными формами организации познавательной деятельности на факультативных занятиях в выпускных классах средней школы, изучены учебные возможности учащихся в экспериментальной группе, проведена опытно- экспериментальная работа по включению самостоятельной работы школьников в процесс обучения. ...
0 комментариев