Иррациональные уравнения и неравенства

Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС

I. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.

1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.

а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .

б) Если в знаменателе стоит выражение  (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на  (или ). В этом случае применяются формулы

,

.

Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Решение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

.

Отметим еще одно свойство:

которое часто применяется в преобразованиях.

Пример 2. Упростить выражение:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) , т.к. .

б) , т.к. .

в)

.

Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n=-1, n=1, n=0.

1) Если n<-1, то

2) Если -1£n<0, то

3) Если 0<n<1, то

4) Если n³1, то

Ответ:

II. Иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение вида .

Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду .

Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной.

Пример 3. Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение:

а)  Û  ;

Проверка.

  Þ х=-4 – посторонний корень,

 – верно Þ х=2 – корень.

Ответ: х=2.

б)

Проверка.

  – это выражение не существует, т.е.

 – посторонний корень,

  – верно Þ  – корень.

Ответ: .

в)

Введем вспомогательную переменную  Þ x2=t2–13

t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,

t1=7; t2=-5.

Сделаем обратную замену:

 Û х2+13=49 Û х2=36 Þ х=±6,

 – не имеет решений.

Ответ: х=±6.

г)

Сделаем замену переменной. Положим . Тогда уравнение примет вид:

 Û  Û

 Þ  Û  Û  Û .

Проверка показывает, что  – корень.

Ответ: .

III. Решение иррациональных неравенств.

При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами.

Поэтому неравенство  эквивалентно системам

 или

Неравенство  равносильно системе

Пример 4. Решить неравенства:

а)  б)

в)  г)

Решение.

а)  Û  Û

Решим третье неравенство системы методом интервалов:

x2-5x-14>0

x2-5x-14=0

(x-7)(x+2)>0

Найдем пересечение решений трех неравенств:

Ответ: -18£x<-2.

б)

если х-1£0, то неравенство верно, то есть х£1;

если x-1>0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:

 Û  Û x>1.

Объединяем два решения, получим х – любое.

Ответ: х – любое.

в)

 Û  Û  Û

 Û  Û

Ответ: х³1.

г)

или

 

 

 Û х³3

  

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

М11.9.1. Упростить:

1)  2)  3)

4) , если , m>0, 0<n<1.

М11.9.2. Решить уравнения

;

;

;

.

М11.9.3. Решить неравенства:

;

;

;