Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду

Допоміжні перетворення Приведення до канонічної форми Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду

17682

знака

таблиц

изображений

4. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду

Тепер залишається вивчити найпростіші з інтегралів виду (8), до яких можна було б звести всі інтеграли цього виду, а відповідно, в кінцевому рахунку, і взагалі, всі еліптичні інтеграли.

Виділимо з раціональної функції R(x), що зустрічається в підінтегральному виразі (8) цілу частину P(x), а правильний дріб, який входить до його складу, розкладемо на прості дроби. Якщо не об’єднувати спряжені комплексні корені знаменника, а розглядати їх окремо, як дійсні корені, то R(x) представиться у вигляді суми степенів (n = 0, 1, 2,…) і дробів виду (m = 1, 2, 3,…), де а може бути і уявним числом, помножених на числові коефіцієнти. Звідси ясно, що інтеграл (8), в загальному випадку, являється лінійним агрегатом наступних інтегралів:

(n = 0, 1, 2,…)

і (m = 1, 2, 3,…).

Зупинимося на інтегралах . Якщо проінтегрувати тотожність

то отримаємо рекурентне співвідношення

(9)

що зв’язують три послідовні інтеграли І. Припускаючи що тут n=2, виразимо через та ; якщо взяти n=3 і замість підставити його вираз через та , то навіть виразиться через ці інтеграли. Продовжуючи так далі, легко переконатися, що кожен з інтегралів виражається через та і далі враховуючи (9), можна встановити і вигляд з’єднуючої їх формули

де і - постійні, а є непарний многочлен степені (2n-3). Звідси стає зрозумілим, що якщо є многочлен n – ї степені від х, то

, (10)

де і - постійні, а (х) є деякий многочлен (n-2) – ї степені від х. Визначення цих постійних і коефіцієнтів многочлена Q може бути виконано (якщо многочлен Р коректно заданий за методом невизначених коефіцієнтів.)

Зауважимо, що з (9) можна було б виразити через та інтеграли і при від’ємних значеннях (n = -1, -2, …), так що в інтегралах досить обмежитись випадком .

Переходячи до інтегралів (скажімо, при дійсних a), подібним чином встановимо для них рекурентне співвідношення

справедливе і при від’ємних і нульовому значеннях m.

Звідси всі виражаються через три з них:

тобто, кінцево через , та .

Підкреслимо, що усе це зберігає силу і при уявних значеннях параметра а.

Так в результаті усіх наших тверджень ми підходимо до наступних висновків: всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів:

( останній інтеграл виходить із введенням, замість , нового параметра ). Ці інтеграли, як показав Ліувіль , в кінцевому виді вже не беруться. Лежандр їх назвав еліптичними інтегралами, відповідно, 1-го, 2-го і 3-го роду. Перші два містять лише один параметр k, а останній, крім нього, ще (комплексний) параметр h.

Лежандр вніс у ці інтеграли ще подальші спрощення, виконавши в них підстановку ( змінюється від 0 до ). При цьому перший із них безпосередньо переходить в інтеграл

. (11)

Другий перетворюється так:

тобто приводиться до попереднього інтеграла і до нового інтеграла

. (12)

Нарешті, третій інтеграл при вказаній підстановці переходить в

. (13)

Інтеграли (11), (12) і (13) також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду – в формі Лежандра.

Із них особливо важливе значення і застосування мають перші два. Якщо враховувати, що ці інтеграли при перетворюються в нуль, і тим зафіксувати вільні сталі, що містяться в них, то отримаємо дві доволі визначені функції від , які Лежандр позначив відповідно через F(k, φ) і E(k, φ). Тут, крім незалежної змінної , вказаний також параметр k, що називається модулем, який входить у вирази цих функцій.

Лежандром були складені обширні таблиці значень цих функцій при різних і різних k. В них не тільки аргумент ,який трактуються як кут, що виражається в градусах, але і модуль k розглядається як синус деякого кута, який і вказується в таблиці замість модуля, причому також в градусах.

Крім того, як Лежандром, так і іншими вченими були вивчені найглибші властивості цих функцій, встановлений ряд формул, що відносяться до них, і т.д.

Дякуючи цьому функції F і E Лежандра ввійшли в сім’ю функцій, що зустрічаються в аналізі і його додатках, на рівних правах з елементарними функціями.

Висновки

В результаті усіх наших міркувань ми коротко можемо сказати, що всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів Лежандра:

А за допомогою підстановки ( змінюється від 0 до ) ці інтеграли перетворюються в такі:

, і ,

які також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду в формі Лежандра, значення яких можна знайти в таблицях.

Використана література:

1. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл.

2. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл.

3. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973 г., 832 стр. с илл.

4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1980 г., 976 с., илл.

ДОДАТКИ Еліптичні інтеграли першого роду

$F{(k, \varphi})=\int\limits_{0}^{\varphi} {d \psi \over \sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}}=\int\limits_{0}^{\sin \varphi} {dt \over {\sqrt{1-t^2} \sqrt{1-k^2t^2}}} \!$

Еліптичні інтеграли першого роду $F(k, \varphi),\; k=\sin \alpha \!$
	0°	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
0°	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
10	0.1745	0.1746	0.1746	0.1748	0.1749	0.1751	0.1752	0.1753	0.1754	0.1754
20	0.3491	0.3493	0.3499	0.3508	0.3520	0.3533	0.3545	0.3555	0.3561	0.3564
30	0.5236	0.5243	0.5263	0.5294	0.5334	0.5379	0.5422	0.5459	0.5484	0.5493
40	0.6981	0.6997	0.7043	0.7116	0.7213	0.7323	0.7436	0.7535	0.7604	0.7629
50	0.8727	0.8756	0.8842	0.8982	0.9173	0.9401	0.9647	0.9876	1.0044	1.0107
60	1.0472	1.0519	1.0660	1.0896	1.1226	1.1643	1.2126	1.2619	1.3014	1.3170
70	1.2217	1.2286	1.2495	1.2853	1.3372	1.4068	1.4944	1.5959	1.6918	1.7354
80	1.3963	1.4056	1.4344	1.4846	1.5597	1.6660	1.8125	2.0119	2.2653	2.4362
90	1.5708	1.5828	1.6200	1.6858	1.7868	1.9356	2.1565	2.5046	3.1534	$\infty$

Еліптичні інтеграли другого роду

$E{(k, \varphi})=\int\limits_{0}^{\varphi} {\sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}\, d\psi=\int\limits_{0}^{\sin \varphi} \sqrt{{1-k^2t^2} \over {1-t^2}}\, dt} \!$

Еліптичні інтеграли другого роду $E(k, \varphi),\; k=\sin \alpha \!$
	0°	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
0°	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
10	0.1745	0.1745	0.1744	0.1743	0.1742	0.1740	0.1739	0.1738	0.1737	0.1736
20	0.3491	0.3489	0.3483	0.3473	0.3462	0.3450	0.3438	0.3429	0.3422	0.3420
30	0.5236	0.5229	0.5209	0.5179	0.5141	0.5100	0.5061	0.5029	0.5007	0.5000
40	0.6981	0.6966	0.6921	0.6851	0.6763	0.6667	0.6575	0.6497	0.6446	0.6428
50	0.8727	0.8698	0.8614	0.8483	0.8317	0.8134	0.7954	0.7801	0.7697	0.7660
60	1.0472	1.0426	1.0290	1.0076	0.9801	0.9493	0.9184	0.8914	0.8728	0.8660
70	1.2217	1.2149	1.1949	1.1632	1.1221	1.0750	1.0266	0.9830	0.9514	0.9397
80	1.3963	1.3870	1.3597	1.3161	1.2590	1.1926	1.1225	1.0565	1.0054	0.9848
90	1.5708	1.5589	1.5238	1.4675	1.3931	1.3055	1.2111	1.1184	1.0401	1.0000

Повні еліптичні інтеграли

$\mathbf{K}=F{(k, {\pi \over 2})}=\int\limits_{0}^{\pi \over 2} {d \psi \over \sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}}=\int\limits_{0}^{1} {dt \over {\sqrt{1-t^2} \sqrt{1-k^2t^2}}} \!$

$\mathbf{E} = E{(k, {\pi \over 2})}=\int\limits_{0}^{\pi \over 2} {\sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}\, d\psi=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{{1-k^2t^2} \over {1-t^2}}\, dt} \!$

Повні еліптичні інтеграли $k=\sin \alpha \!$
$\alpha\!$ °	$\mathbf{K}$	$\mathbf{E}$	$\alpha\!$ °	$\mathbf{K}$	$\mathbf{E}$	$\alpha\!$ °	$\mathbf{K}$	$\mathbf{E}$
0	1.5708	1.5708	30	1.6858	1.4675	60	2.1565	1.2111
1	1.5709	1.5707	31	1.6941	1.4608	61	2.1842	1.2015
2	1.5713	1.5703	32	1.7028	1.4539	62	2.2132	1.1920
3	1.5719	1.5697	33	1.7119	1.4469	63	2.2435	1.1826
4	1.5727	1.5689	34	1.7214	1.4397	64	2.2754	1.1732
5	1.5738	1.5678	35	1.7312	1.4323	65	2.3088	1.1638
6	1.5751	1.5665	36	1.7415	1.4248	66	2.3439	1.1545
7	1.5767	1.5649	37	1.7522	1.4171	67	2.3809	1.1453
8	1.5785	1.5632	38	1.7633	1.4092	68	2.4198	1.1362
9	1.5805	1.5611	39	1.7748	1.4013	69	2.4610	1.1272
10	1.5828	1.5589	40	1.7868	1.3931	70	2.5046	1.1184
11	1.5854	1.5564	41	1.7992	1.3849	71	2.5507	1.1096
12	1.5882	1.5537	42	1.8122	1.3765	72	2.5998	1.1011
13	1.5913	1.5507	43	1.8256	1.3680	73	2.6521	1.0927
14	1.5946	1.5476	44	1.8396	1.3594	74	2.7081	1.0844
15	1.5981	1.5442	45	1.8541	1.3506	75	2.7681	1.0764
16	1.6020	1.5405	46	1.8691	1.3418	76	2.8327	1.0686
17	1.6061	1.5367	47	1.8848	1.3329	77	2.9026	1.0611
18	1.6105	1.5326	48	1.9011	1.3238	78	2.9786	1.0538
19	1.6151	1.5283	49	1.9180	1.3147	79	3.0617	1.0468
20	1.6200	1.5238	50	1.9356	1.3055	80	3.1534	1.0401
21	1.6252	1.5191	51	1.9539	1.2963	81	3.2553	1.0338
22	1.6307	1.5141	52	1.9729	1.2870	82	3.3699	1.0278
23	1.6365	1.5090	53	1.9927	1.2776	83	3.5004	1.0223
24	1.6426	1.5037	54	2.0133	1.2681	84	3.6519	1.0172
25	1.6490	1.4981	55	2.0347	1.2587	85	3.8317	1.0127
26	1.6557	1.4924	56	2.0571	1.2492	86	4.0528	1.0086
27	1.6627	1.4864	57	2.0804	1.2397	87	4.3387	1.0053
28	1.6701	1.4803	58	2.1047	1.2301	88	4.7427	1.0026
29	1.6777	1.4740	59	2.1300	1.2206	89	5.4349	1.0008
30	1.6858	1.4675	60	2.1565	1.2111	90	$\infty$	1.0000

Приведення до канонічної форми

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 17682
Количество таблиц: 5
Количество изображений: 6

Скачать

... . Тоді, якщо існує скінченна границя (13), її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так: (14) Таким чином, за означенням (15) У цьому випадку інтеграл (14) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) – інтегрованою на проміжку (а;+). Якщо ж границя (13) не існує або нескінченна, то інтеграл (14) називають також невласним але розбіжним, а функція f(x) – ...

Скачать

... на малому , g(x,y) стала y1 = y(x0 ) + y(x0 ) + g(x0, y0 ) x Повторюючи знайдемо y2 = y(x1+x) y(x1) + g(x1, y1 ) x yn= yn-1+ g(xn-1 ,yn-1) x, (n=0,1,2…) нахил дотичної визначається початковою точкою інтервалу. 2.3. Програма для комп’ютера. Алгоритм методу. 1. Вибирається початкова умова, величина кроку і кількість ітерацій (кроків). 2. Визначається y і нахил у початковій точці ...

Скачать

... метод координат. V. Аксіома паралельності Сама остання аксіома грає в геометрії особливу роль, визначаючи поділ геометрії на дві логічно несуперечливі й взаємно виключають один одного системи: Евклідову й неевклідову геометрії. У геометрії Евкліда ця аксіома формулюється так. V. Нехай а – довільна пряма й А – крапка, що лежить поза прямій а, тоді в площині α, обумовленою крапкою А и ...

Скачать

... для систем, частинок з антисиметричними хвильовими функціями, тобто до ферміонів. 2.2.3. Розподіл електронів за станами. Періодична система елементів. Сукупність електронів, які перебувають у всіх можливих станах з однаковим значенням головного квантового числа n, утворює електронну оболонку (електронний шар). Енергетичні шари прийнято позначати великими латинськими літерами відповідно до ...

Главная Новости Рефераты Статьи Вузы

О проекте Соглашение

Наверх

Войти на сайт

Навигация

Похожие работы

0 комментариев

Разделы

Инфо

Следите за новостями