Выпуклость и вогнутость кривой

11810
знаков
8
таблиц
18
изображений

5. Выпуклость и вогнутость кривой.

 при

не существует при

при  кривая выпукла

при  кривая вогнута

 тч. перегиба

6) Асимптоты.

а) вертикальные: х=-4.

б) наклонные:

, =>

 – наклонная асимптота


7) График функции

 


Задача 2

Фирма планирует собирать S шт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q , шт./партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны СП, руб./поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в СХ. руб./шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.

Таблица 1 - Параметры системы снабжения фирмы кинескопами

S

СП

СХ

12 62000 1650 68

 


Указания к задаче 2:

1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов ИП(q), издержек хранения ИХ(q) и суммарных издержек И(q) → min;

2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;

3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год Nо, период между поставками То, издержки пополнения ИПо, издержки хранения ИХо , суммарные издержки Ио);

4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;

5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.

Решение:

Годовые издержки пополнения запасов ИП можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки СП.

ИП = N * СП

Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:

N =

Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:

ИП(q) = СП *


Функцию годовых издержек хранения ИХ можно определить как произведение стоимости хранения единицы СХ на среднее число кинескопов на складе.

Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.

Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:

ИХ(q) = CX *  = CX *

Запишем функцию суммарных издержек:

И(q) = ИП(q) + ИХ(q) = СП *  + CX *

Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.

И’(q) = (СП *  + CX * )’= –  +

Составим и решим уравнение:

 +  = 0 ;  =  ; q2 =  ; q = .


Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.

В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.

Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.

Найдем оптимальный размер партии:

q =  =  » 1735 шт.

Найдем число поставок в год:

Nо = S / q = 62000 / 1735 = 35,7 » 36 раз

Найдем период между поставками:

То = 360 / 36 = 10 дней

Найдем издержки пополнения:

ИПо = СП * N = 1650 * 36 = 59400 руб.

Найдем издержки хранения:

ИХо = CX *  = 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.

Найдем суммарные издержки

Ио = ИПо + ИХо = 59400 + 58990 = 118390 руб.


Построим график запасов:

Рис. 1

Рассмотрим функции издержек.

Годовые издержки пополнения запасов ИП(q) = СП *  являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.

Годовые издержки хранения ИХ(q) = CX *  являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.

Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого, функция сначала убывает – когда издержки пополнения запасов существенно выше издержек хранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать – когда издержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержек имеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.

Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:

Рис..2

Задача 3

Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Yi) за 6 последних месяцев (Xi =1...6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставлена задача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использовать ее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, Xj=7, 8).

Таблица 1 - Данные о помесячных объемах продаж фирмы

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

12 14 13 11 14 13 16

Указания к задаче 3:

1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a0x + a1;

2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейной функции;

3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейной функции;

4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьте таблицу.

Таблица.2 - Параметризация аппроксимирующей линейной функции.

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1
2
3
4
5
6
Сумма

5) запишите выражение для аппроксимирующей линейной функции и рассчитайте ее значения о точках Xi = 1...8; результаты расчетов оформите в виде таблицы;

6) изобразите на одном рисунке в большом масштабе график аппроксимирующей линейной функции и нанесите эмпирические точки.

Решение:

Аппроксимацию эмпирических данных будем выполнять линейной функцией

у = a0x + a1

Сущность метода наименьших квадратов состоит в подборе таких a1 и a0 , чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений будет функцией F этих параметров: F(a0 , a1) =  или F(a0 , a1) =


Для отыскания минимума приравняем нулю частные производные по каждому параметру:

=

=

Выполнив элементарные преобразования сумм, получим систему из двух линейных уравнений относительно a1 и a0:

Решим данную систему методом Крамера:

Тогда можно вывести формулы расчета параметров:


Построим расчетную таблицу

Таблица 3 – Расчетная таблица

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1 1 14 1 14
2 2 13 4 26
3 3 11 9 33
4 4 14 16 56
5 5 13 25 65
6 6 16 36 96
Сумма 21 81 91 290

Найдем значения параметров:

Тогда формула аппроксимирующей линейной функции будет равна

 = 0,3714·Xi + 12,2

Найдем значения аппроксимирующей функции:

Таблица 4 – Расчет значений аппроксимирующей функции

i

Xi

1 1 12,5714
2 2 12,9428
3 3 13,3142
4 4 13,6856
5 5 14,057
6 6 14,4284
7 7 14,7998
8 8 15,1712

Построим график аппроксимирующей функции

Рис.1

Задача 4

Найти приращение и дифференциал функции y=a0x3+a1x2+a2x (таблица). Рассчитать абсолютное и относительное отклонения dy от Δy.

Решение:

y=4x3–2x2–3x

Приращение функции

y(x+Δx)–y(x)= 4(x+Δx)3–2(x+Δx)2–3(x+Δx) – (4x3–2x2–3x)=

=4(x3+3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3)–2(x2+2 xΔx +Δx2)–3x–3Δx –4x3+2x2+3x=

=4x3+12x2Δx + 12xΔx2 + 4Δx3 –2x2–4 xΔx –2Δx2–3Δx –4x3+2x2=

=12x2Δx + 12xΔx2 + 4Δx3–4 xΔx –2Δx2–3Δx =

=(12x2–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx2 + 4Δx3)

Линейная по Δx часть приращения есть дифференциал, то есть

dy=(12x2–4 x–3)Δx или заменяя Δx на dx получим dy=(12x2–4 x–3)dx

Абсолютное отклонение:

Δy– dy = (12x2–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx2 + 4Δx3)– (12x2–4 x–3)Δx =(12x–2)Δx2 + 4Δx3

Относительное отклонение:

Задача 5

Используя дифференциал, рассчитайте приближенное значение функции , оцените относительную погрешность и вычислите значение с 6 знаками.

n=3, x=63

Решение:

Возьмем

=64

=>

Тогда

Относительная погрешность

Задача 6. Найти неопределенные интегралы, используя метод разложения.

Решение:

1)

2)

Задача 7

Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.

Решение:

1) 2)

Задача 8

Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Решение:

1)

2)

Задача 9. Нарисуйте прямоугольный треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(а,0), В(0,b). Используя определенный интеграл выведите формулу площади прямоугольного треугольника.

Решение:

Уравнение гипотенузы найдем как уравнение прямой по 2-м точкам:


 =>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 10. Нарисуйте треугольник произвольной формы, расположив его вершины в точках А11,0), А22,0), В(0,b). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади треугольника произвольной формы.

Решение:

Уравнение сторон найдем как уравнения прямых по 2-м точкам:


А1В:  =>

А2В:  =>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 11. Начертите четверть круга радиуса R с центром в точке О(0,0). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади круга. (Уравнение окружности x2+y2=R2)

Решение:

0

 

R

 

y

 

Из уравнения окружности:

Тогда четверти круга равна:


Тогда площадь круга равна:

Задача 12

Используя определенный интеграл, вычислите площадь, ограниченную кривой y=lnx, осью ОХ и прямой х=е. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y=lnx =0 (y=lnx с осью ОХ: y=0)=>, тогда искомая площадь:


Задача 13

Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой y=3–2x от параболы y=x2. Нарисуйте чертеж.

 Решение:

Найдем точки пересечения y= x2 =3–2x => x2 +2x–3=0 =>, тогда искомая площадь:

Задача 14

Вычислить площадь между кривой y=1/x2 и осью ОХ, располагающуюся вправо от линии x=1. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Искомая площадь:


Вычислить приближенное значение интеграла  по формуле трапеции, принимая n = 5.

Формула трапеций имеет вид

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

N

0 1 1,0000
1 2 0,2500
2 3 0,1111
3 4 0,0625
4 5 0,0400
5 6 0,0278

Тогда по формуле трапеций имеем:

Точное значение

 

Относительная погрешность

Повторим вычисления для 10 отрезков.

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

N

0 1 1,0000
1 1,5 0,4444
2 2 0,2500
3 2,5 0,1600
4 3 0,1111
5 3,5 0,0816
6 4 0,0625
7 4,5 0,0494
8 5 0,0400
9 5,5 0,0331
10 6 0,0278

Тогда по формуле трапеций имеем:

Относительная погрешность

Как видно, большее число разбиения дает более точный результат.

Задача 15. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1)

Разделим переменные


2)

Разделим переменные

Задача 16

Преобразовать дифференциальные уравнения к однородному вида . Выполнить замену y/x и решить.

Решение:

1)

Разделим обе части на xy

2)


Разделим обе части на x

или

Задача 17

Привести линейное дифференциальное уравнение к виду  и решить его применив подстановку y=u(x)∙v(x).

Решение:

1)

Преобразуем

 =>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> => , ,

2)

Преобразуем

 =>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> => , ,

2)

Разделим обе части на x

или

Задача 18

Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение:

1)

Запишем характеристическое уравнение:

λ2–λ–6=0 => λ1,2=3;-2 =>

Тогда общее решение дифференциального уравнения:


 y = C1e3x + C2e–2x

2)

 

Найдем решение однородного дифференциального уравнения:

запишем характеристическое уравнение

: λ2–6λ+9=0 => λ1,2= 3 =>

y0 = (C1+ C2x)e3x

Запишем частное решение по виду правой части:

 ŷ = C3x2+ C4x+ C5

Найдем

 ŷ ′ = 2C3x–C4

ŷ ′′ = 2C3

Подставим в исходное уравнение, получим:

2C3 – 6(2C3x–C4)+9(C3x2+ C4x+ C5) =9C3x2+(9C4–12C3)x+(2C3 + 6C4+9C5)= x2

=> C3 = 1/9, => C4 = 4/27, => C5 = –10/81

y = y0 + ŷ = (C1+ C2x)e3x +


Информация о работе «Высшая математика»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 11810
Количество таблиц: 8
Количество изображений: 18

Похожие работы

Скачать
4521
0
0

Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой. Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2 + l = + 2 = 7.7 (см) таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением: Вершина первого конуса имеет следующие координаты - ...

Скачать
13764
1
0

урецкий, персидский, татарский и французский языки, а также мусульманское и международное право. Целью данной работы является освещение предмета высшей математики в профессиональной деятельности военного юриста. Работа включает не только теоретические аспекты применения методов высшей математики в военной юриспруденции, но и примеры практического использования методик. 1. Характеристика ...

Скачать
149274
13
5

... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Скачать
18574
2
0

бнику, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы. В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс высшей математики в течение 1 и 2 семестра и выполняют в каждом семестре по две контрольные работы. Первая и вторая контрольные работы выполняются студентами в 1 семестре после изучения тем 1-2 и 3-4 соответственно. Третья и ...

0 комментариев


Наверх