Язык математики как "аминокислотный код"

3. Язык математики как "аминокислотный код"

Из сказанного выше напрашивается вывод, что более или менее адекватное описание совершающихся в Мире (и возможных в нем) преобразований, означающих изменение состояний выделенных для рассмотрения "элементов", предполагает введение каких-то "структур" (в смысле Бурбаки), описывающих воздействие остального мира на рассматриваемый элемент. На нашем символическом "аминокислотном" языке такие структуры выступают в роли операторов, воздействие которых и заставляет элемент изменить свое состояние. А все, что происходит в Мире, остающемся в каком-то смысле равным самому себе, и сводится, по-видимому, к изменению состояний его элементов!

Следовательно, чтобы эпистемология была изоморфна онтологии в арсенале математики, в ее концептуальном базисе, в числе ее первичных объектов, или "структур", должны присутствовать "состояния" и "преобразования"; первые на символическом математическом языке выступают в качестве операндов, вторые - в качестве "операторов", воздействие которых на операнды превращает их в другие операнды той же природы, но находящиеся в иной "фазе", отражая изменение "состояния" выделенного элемента системы.

Язык математики, а, стало быть, и теоретической физики, должен быть, таким образом (от этого не уйти!), языком операторов.

Между тем, хотя уже в первой трети нашего века физика в лице квантовой механики пробилась к уяснению этой истины, традиционному аппарату нашей математики в его принципиальных основах (не в надстройках!), как ни странно, чуждо понятие оператора!

Укажем здесь, хотя бы только на то, что в аппарате нашей традиционной математики отсутствуют естественные операторы для описания даже таких элементарных преобразований, как поворот вектора в трехмерном пространстве вокруг перпендикулярной к нему оси! Это элементарное преобразование, ибо все, что может происходить с вектором, сводится к его растяжению (сжатию) и повороту - ни изгибаться, ни "закручиваться", ни завязываться узлом вектор "не умеет"! Между тем для описания такого элементарного акта традиционная математика пользуется громоздкими искусственными конструкциями, содержащими (нелинейные и неаддитивные!) тригонометрические функции (с которыми "Природа" едва ли может иметь дело!).

Зато, вместо естественного понятия оператора, в первичном арсенале математических средств присутствует нелепое (как будет показано ниже) понятие "умножения" (в том числе два разных умножения для векторов), обладающее в общем случае скверным, неприятным (а, попросту говоря, противоестественным!) свойством неассоциативности.

Между тем, преобразования и их естественные математические ("аминокислотные") представители - операторы - по самой своей природе, разумеется, должны быть ассоциативны - применение двух последовательных преобразований равнозначно применению преобразованного преобразования или преобразования к уже преобразованному объекту!

Неассоциативность "скалярного" и "векторного" умножений векторов приводит к неисчислимым бедствиям для всей математики (и физики): тут и незамкнутость векторной "алгебры", и катастрофическая вырожденность пестрящих "нулями" таблиц умножения для векторов, и странная аннигиляция векторов при умножении, и запрещение деления на векторы, приводящее к чудовищной необратимости элементарных операций над векторами, и многое другое.

Но главное, пожалуй, в том, что понятия "умножения" и "произведения" сущностей вообще никоим образом не адекватны и не изоморфны структуре Мира! По существу, понятию "произведения" в Мире ничего не соответствует. Это чисто "птолемеевская" конструкция, некая искаженная, извращенная тень тех процессов взаимодействия, которые оно призвано отражать и описывать.

Операция "умножения" имеет какой-то (условный!) смысл по отношению к операторам, где она означает просто последовательное их применение. Но что может, например, означать "яблоко, умноженное на яблоко"? Можно возразить, что яблоко не является "математическим объектом". Хорошо. Тогда, что такое шар, умноженный на шар ("произведение двух шаров"), или круг на круг, или треугольник на треугольник, или кривая на кривую, или угол на угол и т.д. Можно снова возразить, что это, мол, чисто геометрические объекты, а для них понятие умножения не имеет смысла. Но тогда должно быть бессмысленным и умножение "направленного отрезка" на "направленный отрезок" (а их целых два, что уже само по себе подозрительно)!

На подобные недоуменные вопросы математики "классической" школы обычно отвечают, что понятие "произведения" математических объектов является свободной конструкцией ума и в значительной (если не в полной) мере зависит от нашего произвола. Мы вольны определить (дефинировать) "произведение" как то-то и то-то, и выбор наш диктуется лишь тем, насколько получаемые "структуры" будут непротиворечивы, удобны для нас, полезны, осмысленны, продуктивны и т.д. Вообще же говоря, такой выбор произволен.

Этим на первый взгляд снимается возникшее затруднение. Однако взамен возникает гораздо более серьезная трудность: почему же такие "свободные порождения ума" оказываются вообще применимыми к внешнему миру, к "физической реальности", которая ведь вовсе не обязана сообразовываться с нашими умственными изобретениями?

Этот вопрос чрезвычайно волновал, среди прочих, и Эйнштейна. Еще в 1920 г. он писал: "В связи с этим возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только одного размышления понять свойства реальных, вещей?" ([23], т. 2, с. 83).

И действительно, на деле обнаруживается, что якобы "свободный" выбор наш существенно ограничен: в одних случаях понятие "произведения" загадочным образом оказывается плодотворным и осмысленным, а в других - совершенно бесплодным и лишенным смысла.

Почему же в одних случаях "умножение" имеет смысл, а в других, даже ценой больших усилий, ему такого смысла придать не удается? Чем различаются между собой эти "случаи"?

Проанализировав этот вопрос применительно к другим объектам, помимо векторов, мы неизбежно придем к выводу, что операция "умножения" и понятие "произведения" имеют смысл лишь по отношению к таким объектам ("структурам"), которые могут быть интерпретированы как операторы.

Очевидными примерами являются действительные и комплексные числа, матрицы, тензоры (при правильной записи) и т.п. структуры. Что же касается векторов в их традиционном представлении, то они этому условию не удовлетворяют. И действительно, оба придуманные для них "умножения" оказываются совершенно бессмысленными при сопоставлении с "реальностью". В самом деле, если математическому "вектору" в "физическом" мире соответствует, скажем, некая сила (мы со школьных лет знаем, что "сила есть вектор"), то какие процессы в мире соответствуют "скалярному" умножению двух одинаково направленных сил, при котором обе они "растворяются", превращаясь в "число"? И какие процессы соответствуют умножению двух взаимно перпендикулярных сил, при котором они вообще "аннигилируют"? А какие процессы в мире заставляют испариться две коллинеарные силы в соответствии с их векторным "умножением"?

Таким образом, оказывается, что, хотя математические векторы имеют "референтов" в физическом мире, математические операции их "умножения", конструкты скалярного и векторного "произведений", не имеют "референтов" в мире.

Конечно, можно возразить, что само понятие "вектора" определяется совокупностью его свойств, включая упомянутые "произведения". Но тогда получается, что сам "вектор" не имеет "референта" в Мире, и обнаруживается полный разрыв между математикой и физикой!

Таким образом, понятие "умножения" приобретает смысл лишь тогда, когда мы имеем дело с операциями, которые могут быть истолкованы как воздействие неких операторов. А такие операции должны во что бы то ни стало быть ассоциативными!

В нашем "Мире" за все приходится платить! За сохранение ассоциативности нам придется уплатить появлением - в ограниченной области - делителей нуля, - недостаток, которого, вообще говоря, алгебраисты стараются всеми силами избежать (любимые их детища - "алгебры без делителей нуля", пусть и не ассоциативные!).

Однако именно этот "недостаток" на деле оборачивается величайшим преимуществом, давая ключ к раскрытию наиболее захватывающих тайн теории относительности и квантовой механики (а, надо полагать, и квантовой теории поля)!

Сформулируем еще раз вкратце основные наши "опорные гипотезы":

1. Мир мыслится как некая система, наделенная структурой и, стало быть, подчиняющаяся налагаемым этой структурой ограничениям. В Мире не все возможно, но все, что возможно, где-нибудь и когда-нибудь происходит.

2. Все, что происходит (и может происходить!) в Мире сводится к изменениям состояния его выделенных для рассмотрения элементов, фрагментов или подсистем - к преобразованиям, совместимым с наложенными ограничениями.

3. По отношению к возможным и реализуемым преобразованиям Мир обладает свойством замкнутости и полноты: в "естественном" мире нет места для "сверхъестественных" явлений.

4. В соответствии со сказанным, адекватное описание Мира предполагает введение "структур", отражающих состояния и их преобразования, что на символическом математическом языке выражается как воздействие операторов на операнды. По отношению к таким операциям Мир должен быть алгебраически замкнутым.

5. В силу естественной ассоциативности преобразований, тем же свойством ассоциативности безусловно должны обладать и используемые в математике "истинные" операторы. Лишь при этом условии "структура описания" оказывается изоморфной "структуре Мира".

6. Операция "умножения" и понятие "произведения", строго говоря, не имеют смысла, так как им в Мире ничего не соответствует. Но формально ими можно пользоваться, если они могут быть интерпретированы как воздействие операторов, а для этого они неизбежно должны обладать свойством ассоциативности.

7. Таким образом, для построения системы "истинной" математики открываются в принципе два равноправных пути: выявление элементарных операторов и требование ассоциативности всех используемых операций "умножения" (оба пути приводят к одним и тем же результатам).

8. От структур, получающихся при адекватном описании реальности, можно ожидать высокой степени простоты и симметрии, удовлетворяющих нашему эстетическому чувству, что дает мощный эвристический критерий для суждения об их истинности.

В XX веке в математике воцарилось почти безраздельное господство мощного и плодотворного аксиоматического метода, в немалой степени обязанного своей победой подкупающему стилю мышления и блестящим результатам Давида Гильберта. Успехи аксиоматического метода в упорядочении математического знания и обеспечении логической неуязвимости результатов несомненны. Однако благодаря этому мы часто подпадаем под власть завораживающей магии "положительного знания" и, пораженные своеобразной "куриной слепотой", перестаем видеть очевидные противоречия и несуразности, присущие (при всей ее внутренней непротиворечивости!) самой системе аксиом при ее сопоставлении с реальностью. Это, конечно, тесным образом связано с принципиальным убеждением о независимости математики от реального мира в духе цитированного выше утверждения Георга Кантора.

Автору претит такой волюнтаристский подход. В отличие от широко распространенного мнения, что можно "постулировать что угодно", лишь бы система введенных аксиом была непротиворечивой, а вытекающие из нее (автоматически непротиворечивые) следствия были осмысленны и продуктивны, автор полагает, что для самих вводимых аксиом должны существовать достаточные основания. Если уж поклоняться каким-то богам, то, пожалуй, такого поклонения достоин именно великий лейбницевский ПРИНЦИП ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ. А "достаточные основания" мы, по-видимому, можем черпать только из реальности (из чего еще? Что выше математики?).

В связи с этим еще раз коснемся тонкого вопроса о гносеологической природе фундаментальных конструктов "суммы" и "произведения" математических объектов. Приходится лишь удивляться, что от внимания исследователей совершенно ускользнуло принципиальное различие этих понятий.

Концепция "суммы" опирается на возможность сосуществования дискретных объектов в нашей концептуальной картине мира. Если в нашем концептуальном поле "высвечивается" некий объект а (что инициируется характерным заклинанием математика: "Пусть имеется!") и одновременно (или вслед затем) "высвечивается" объект b, то с этого момента в нашем актуальном сознании имеются одновременно объекты а и b. Их одновременное, или совместное, присутствие в нем и охватывается понятием суммы: если имеется а и имеется b, то имеется их одновременное присутствие а + b. При этом, ввиду симметричности отношения одновременного присутствия, сумма, разумеется, всегда коммутативна: одновременное присутствие а и b есть то же, что одновременное присутствие b и а, т.е. а + b = b + а, "от перестановки слагаемых сумма не меняется". Другой характерной особенностью суммы является то, что в ней сохраняется присутствие каждого из объектов: они не исчезают, а продолжают "иметься" и в "сумме", которая как раз и означает их одновременное присутствие. Наконец, характерной особенностью суммы является и то, что сумма есть единственное возможное сочетание имеющихся (и продолжающих иметься) объектов: в смысле дихотомии "имеется" - "не имеется" ничего более (и ничего менее) совместного присутствия присутствующих объектов быть не может!

Совершенно иначе обстоит дело при образовании мифического "произведения" двух объектов, скажем, тех же, а и b, которые вроде бы имеются, но в то же время как бы растворяются и исчезают, перестают иметься, уступая место чему-то третьему (условно называемому их "произведением"). Но из имеющихся объектов ничего кроме их суммы образоваться не может! При образовании "произведения" ситуация на самом деле такова, что имелось нечто (скажем, а), а затем стало иметься нечто другое (скажем, с), что означает преобразование а в с под воздействием некого связанного с b оператора b: bа = с. Таким образом, концепция "произведения" на самом деле опирается на возможность преобразований, т.е. изменений состояния, объектов в мире и его концептуальном отражении. Аналогично, если имелось b, которое подверглось преобразованию с помощью связанного с а оператора a', возникает a'b = с'. Но ниоткуда не следует, что обязательно должно быть с' = с. Напротив, в общем случае как раз a'b<>bа: здесь разные операторы применяются к разным операндам, и именно поэтому операция "умножения", в отличие от операции "сложения", в общем случае некоммутативна. Именно и только по этой причине!

Итак, коренное различие двух классических "бинарных операций" - сложения и умножения - и соответствующих им понятий "суммы" и "произведения" сводится к следующему:

а) "Сумма" означает одновременное присутствие объектов в концептуальном поле и поэтому, будучи симметричной относительно слагаемых", всегда коммутативна, тогда как "произведение" может быть понято лишь как результат преобразования одного объекта под воздействием другого и поэтому, будучи несимметричным относительно "сомножителей", в общем случае некоммутативно.

б) "Сумма" является единственным образованием, соответствующим одновременному присутствию имеющихся (и продолжающих иметься) объектов; любое сочетание имеющихся объектов, отличное от их суммы нонсенс (разве, что они верхом друг на дружке сидят. Но и тогда в смысле присутствия ничего, кроме суммы не получается!). Именно поэтому "произведение" приобретает смысл лишь как результат преобразования, при котором первоначально имевшийся объект перестает "иметься" и начинает "иметься" другой объект.

в) В соответствии с этим, в "сумме" слагаемые не исчезают, а продолжают присутствовать, в то время как в произведении в общем случае не остается никаких следов первоначальных "сомножителей" - их уже нет (ср. "произведения" векторов или матриц).

г) Ввиду предыдущего, операция "сложения" всегда обратима, в то время как операция "умножения" в общем случае необратима: в традиционных формализмах операция "деления" часто оказывается существенно неоднозначной и поэтому запрещенной (ср. отсутствие обратных операций для скалярного и векторного "умножений" векторов).

д) Будучи отношением одновременного присутствия, "сумма", разумеется, всегда ассоциативна. "Произведения" же в традиционных системах аксиом зачастую странным образом оказываются неассоциативными (оба "произведения" векторов!), хотя лежащие в их основе преобразования по самой своей природе ассоциативны (и, в принципе, обратимы), что вскрывает принципиальную неадекватность классической концепции "произведения" и соответствующей аксиоматики.

Список литературы

1. К. Маркс, Ф. Энгельс, Сочинения, т. 20, с. 581.

2. Д. Гильберт, Основания геометрии, Добавление VIII: "О бесконечности", Гостехиздат, Москва - Ленинград (1948).

3. Н. Бурбаки, Очерки по истории математики, ИЛ, Москва (1963).

4. С. Hermite, T. Stieltjes, Correspondance, Vol. 2, Paris (1905), p. 398; цит. по [5], с. 29.

5. G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (1932), p. 182;цит. по [5], c. 32.

6. E. Вигнер, Этюды о симметрии, Мир, Москва (1971).

7. Проблемы современной математики, сер. Математика, кибернетика, № 10, Знание, Москва (1971).

8. А. Н. Колмогоров, А. Г. Драгалин, Математическая логика. Дополнительные главы, Изд. МГУ, Москва (1984).

9. В. И. Вернадский, Размышления натуралиста. Научная мысль как планетное явление, Наука, Москва (1977), с. 76.

10. М. Рис, Р. Руффини, Дж. Уиллер, Черные дыры, гравитационные волны и космология, Мир, Москва (1977).

11. Т. Гоббс, Избранные сочинения, Москва-Ленинград (1926), с. 91.

12. G. M. Weinberg, Introduction to General Systems Thinking, Wiley-Intersci. Publ., New York - London - Toronto - Sydney (1975).

13. К. Р. Форд, "Магнитные монополи", Над чем думают физики, вып. 9, Элементарные частицы, Наука, Москва (1973).

14. Г. Фрауэнфельдер, Э. Хенли, Субатомная физика, Мир, Москва (1979).

15. Н. Ф. Нелипа, Физика элементарных частиц, Высшая школа, Москва (1977).

16. В. Холличер, Природа в научной картине мира, Иностранная литература, Москва (1960), с. 311.

17. Народонаселение стран мира, Справочник, Статистика, Москва (1978), с. 366.

18. С. И. Брук, Население мира, Этнодемографиче-ский справочник, Наука, Москва (1981), с. 89.

19. М. В. Кузьмин, "Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена и проблема полноты квантовой механики", Философ, науки, № 4, 66 (1980).

20. В. А. Баженов, "ЭПР-парадокс и основания квантовой физики", Философия и основания естественных наук, Москва (1981), с. 45.

21. Ю. Б. Молчанов, "Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена и принцип причинности", Вопр. философ., № 3, 30 (1983).

22. И. 3. Цехмистро, "О парадоксе Эйнштейна - Подольского - Розена", Философ, науки, № 1, 46 (1984).

23. А. Эйнштейн, Собр. научн. тр. в 4-х томах, Наука, Москва (1965 - 1967).

24. Е. А. Мамчур, Проблема выбора теории, Наука, Москва (1975).

25. Е. А. Мамчур, С. В. Илларионов, "Регулятивные принципы построения теории", Синтез современного научного знания, Наука, Москва (1973), с. 355.

26. Б. Г. Кузнецов, "Об эстетических критериях в современном физическом мышлении", Художественное и научное творчество, Ленинград (1972), с. 84.

27. Г. И. Панкевич, "К вопросу о взаимном проникновении естественных и эстетических принципов в современном познании", Философские проблемы естествознания, Наука, Москва (1971), с. 147.

28. А. И. Сухотин, "Соотношение критериев простоты и истинности знания", Актуальные проблемы диалектической логики, Наука, Алма-Ата (1971), с. 263.

29. Г. Кайберг, Вероятность и индуктивная логика, Прогресс, Москва (1978), с. 229 - 246.

30. Дж. Д. Уотсон, Двойная спираль, Мир, Москва (1969).

31. В. Блейк, Избранное в переводах С. Маршака, Художественная литература, Москва (1965), с. 167.

32. В. Брюсов, "Сонет к форме", Избранные стихи, Academia, Москва (1933), с. 155.

33. Б. Пастернак, "Волны", Стихотворения и поэмы, Советский писатель, Москва - Ленинград (1965), с. 351.

34. Г. Г. Уарди, "Исповедь математика", Математики о математике, сер. Математика, кибернетика, № 8, Знание, Москва (1967), с. 4.

35. П. А. М. Дирак, "Эволюция физической картины мира", Над чем думают физики, вып. 3, Элементарные частицы, Наука, Москва (1965).