Навигация
2. Составление уравнений.
система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляют собой случайный процесс Маркова.
Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t
. (2)
Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:
в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;
в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.
Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена - имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.
Вероятность первого из указанных событий равна
вероятность второго события
Таким образом,
Отсюда очевидным образом приходим к уравнению
(3)
Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 £ k < m и k ³ m. Пусть вначале 1 £ k < m. Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние Ek в момент t+h. Эти состояния таковы:
В момент t система находилась в состоянии Ek, за время h новых требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна
В момент t система находилась в состоянии Ek-1, за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна
В момент t система находилась в состоянии Ek+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна
Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).
Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:
Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению для 1 £ k < m:
(4)
Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению
` (5)
Для определения вероятностей Pk(t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5). Ее решение представляет несомненные технические трудности.
3. Определение стационарного решения.
В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t ® ¥. Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами, некоторые из них позднее будут нами установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения Pk . Заметим дополнительно, (этого мы также сейчас не станем доказывать), что 
при t®¥.
Сказанное позволяет заключить, что уравнения (3), (4) и (5) для стационарных вероятностей принимают следующий вид:
(6)
при 1 £ k < m
(7)
при k ³ m
(8)
К этим уравнениям добавляется нормирующее условие
(9)
Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения: при 1£ k<m
при k ³ m 
Система уравнений (6)-(8) в этих обозначениях принемает такой вид:
z1=0, zk-zk+1=0 при k ³ 1
Отсюда заключается, что при всех k ³ 1 zk =0
т.е. при 1 £ k < m
kmPk=lPk-1 (10)
и при k ³ m mmPk=lPk-1 (11)
Введем для удобства записи обозначение
r=l/m.
Уравнение (10) позволяет заключить, что при 1 £ k < m
(12)
При k ³ m из уравнения (11) находим, что
и следовательно, при k ³ m
(13)
Остается найти P0. Для этого в (9) подставляем выражения Pk из (12) и (13). В результате
Так бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии, что
r < m (14)
то при этом положении находим равенство
(15)
Если условие (14) не выполнено, т.е. если r ³ m, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при всех k ³ 1 оказывается Pk =0.
Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при r ³ m с течением времени очередь стремится к ¥ по вероятности.
Похожие работы
... и эффективным средством выработки оптимальных управленческий решений, главной особенностью которых в современных условиях становится их своевременность. 2 Применение теории массового обслуживания в экономическом анализе 2.1 Теория массового обслуживания Теория массового обслуживания – вероятностные модели реальных систем обслуживания населения, при которых время обслуживания будет ...
... сообщение (требование). В таком случае, если в очереди есть сообщения * (требования), переходим в очереди новое состояние: уменьшаем количество сообщений * (требований), ожидающих в обслуживания очереди на 1. */ if (this.getCurrentPort().getName().equals("fromNext")) { serverIsFree = true; /* Если в очереди было одно сообщение (требование), то теперь там не будет ни ...
... коммерческой деятельности. Для решения перечисленных задач существует эффективный метод моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики. 1.2 Моделирование систем массового обслуживания Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием вполне определенных событий - поступления заявок и их обслуживания. Последовательность появления ...
... сколько их уже исправно и ждет наладки. Классификация СМО далеко не ограничивается приведенными разновидностями, но этого достаточно.2. Системы массового обслуживания с ожиданием 2.1 Одноканальная СМО с ожиданием Рассмотрим простейшую СМО с ожиданием — одноканальную систему (n - 1), в которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (т.е. в среднем непрерывно ...
0 комментариев