Навигация
Рефлексивность, т.е. каждая характеристическая функция эквивалентна себе u~u
29883
знака
0
таблиц
10
изображений
1. Рефлексивность, т.е. каждая характеристическая функция эквивалентна себе u~u.
2. Симметрия, т.е. если u~u1, то u1~u.
3. Транзитивность, т.е. если u~u1 и u1~u2, то u~u2.
Из свойств рефлексивности, симметрии и транзитивности вытекает, что множество всех характеристических функций единственным образом распадается на попарно непересекающиеся классы, которые называются классами стратегической эквивалентности.
Отношение стратегической эквивалентности игр и их характеристических функций переносится на отдельные дележи :
пусть u~u1 , т.е. выполняется (5), и x = (x1, ..., xn) – дележи в условиях характерис- тической функции u; рассмотрим вектор x1 = (
, ..., 
) , где 
= k xi+Ci; для него выполняется
= k xi + Ci ³ k u( i ) + Сi = u1( i );
т.е. выполняется условие индивидуальной рациональности, и
=
= k
+
= k u(N) += u1(N)
т.е. выполняется условие коллективной рациональности. Поэтому вектор 
является дележом в условиях u1. Говорят, что делёж x1 соответствует дележу x при стратегической эквивалентности u~u1.
Кооперативная игра называется нулевой, если все значения её характеристической функции равны нулю. Содержательное значение нулевой игры состоит в том, что в ней игроки не имеют никакой заинтересованности .
Всякая несущественная игра стратегически эквивалентна нулевой .
Определение. Кооперативная игра с характеристической функцией u имеет (0,1)-редуцированную форму, если выполняются соотношения :
u( i ) = 0 ( i Î N ),
u(N) = 1.
Теорема. Каждая существенная кооперативная игра стратегически эквивалентна одной и только одной игре в (0,1)-редуцированной форме.
Сформулированная теорема показывает, что мы можем выбрать игру в (0,1)-редуцированной форме для представления любого класса эквивалентности игр. Удобство этого выбора состоит в том, что в такой форме значение u(K) непосредственно демонстрирует нам силу коалиции S (т.е. ту дополнительную прибыль, которую получают члены коалиции, образовав её), а все дележи являются вероятностными векторами.
В игре в (0,1)-редуцированной форме дележём является любой вектор x = (x1, ..., xn), для которого
xi ³ 0 (i Î N) = 1.
Перечисление характеристических функций с малым числом игроков.
Как было сказано ранее, для каждого множества игроков N существует единственный класс стратегически эквивалентных несущественных игр с множеством игроков N. Таким образом, остаётся рассмотреть классы существенных кооперативных игр.
Рассмотрим сначала классы игр в (0,1)-редуцированной форме для случая игр с нулевой суммой.
1. Игры 2-х игроков. Всякая кооперативная игра двух игроков с нулевой суммой является несущественной.
Доказательство. Предположим, что имеется существенная кооперативная игра двух игроков с характеристической функцией u, Тогда она должна быть стратегически эквивалентна некоторой игре в (0,1)-редуцированной форме с характеристической функцией u1, что означает следующее :
u1(1) = 0, u1(2) = 0, u1(1,2) = 1 
По свойству дополнительности должно
u1(2) = u1(1,2) – u1(1) = 1 – 0 =1,
что противоречит (*). А это значит, что наше предположение о существенности кооперативной игры двух игроков с нулевой суммой неверно.
Итак, класс кооперативных игр двух игроков с нулевой суммой ограничивается несущественными играми.
2. Игры 3-х игроков. Пусть u – характеристическая функция существенной игры в (0,1)-редуцированной форме, тогда
u(1) = u(2) = u(3) = 0, u(1,2,3) = 1.
По свойству дополнительности имеем :
u(1,2) = u(1,2,3) – u(3) = 1– 0 =1,
u(1,3) = u(1,2,3) – u(2) = 1– 0 =1,
u(2,3) = u(1,2,3) – u(1) = 1– 0 =1,
и, таким образом, характеристическая функция полностью определена. Итак, имеется два класса кооперативных игр трёх игроков с нулевой суммой: класс существенных и класс несущественных игр.
Похожие работы
... запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличение запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как посева одной из возможных культур, урожай которой зависит от погоды, если известны цена единицы ...
р, на основе недостаточных данных) можно интерпретировать как конфликт принимающего решения субъекта с природой. Поэтому Теория игр рассматривается также как теория принятия оптимальных решений в условиях неопределённости. Она позволяет математизировать некоторые важные аспекты принятия решений в технике, сельском хозяйстве, медицине и социологии. Перспективен подход с позиций Теории игр к ...
... . Если а,} > О, то столбцевой игрок платит строчному; если аij < о то строчный игрок платит столбцевому; если аij = О, никто никому не платит. В качестве основного допущения в теории игр предполагается, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях партнера. Пусть имеется конечная антагонистическая игра с матрицей выигрышей строчного и ...
... в себе учащихся "маской" за которую они могут спрятаться. Учащиеся испытывают огромные затруднения, когда основной упор в обучении делается на личность обучающихся, на их непосредственный опыт. И в ролевой игре такие учащиеся получают обычно освобождение, поскольку их личность не затронута, им ненужно раскрываться. 5. Преимущество использования ролевой игры в том, что она доставляет удовольствие ...
0 комментариев