Навигация
Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать определённые коалиции. Обозначим через N множество всех игроков, N={1,2,...,n}, а через K – любое его подмножество. Пусть игроки из K договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Очевидно, что число таких коалиций, состоящих из r игроков, равно числу сочетаний из n по r , то есть 
, а число всевозможных коалиций равно
= 2n – 1.
Из этой формулы видно, что число всевозможных коалиций значительно растёт в зависимости от числа всех игроков в данной игре. Для исследования этих игр необходимо учитывать все возможные коалиции, и поэтому трудности исследований возрастают с ростом n. Образовав коалицию, множество игроков K действует как один игрок против остальных игроков, и выигрыш этой коалиции зависит от применяемых стратегий каждым из n игроков.
Функция u, ставящая в соответствие каждой коалиции K наибольший, уверенно получаемый его выигрыш u(K), называется характеристической функцией игры. Так, например, для бескоалиционной игры n игроков u(K) может получиться, когда игроки из множества K оптимально действуют как один игрок против остальных N\K игроков, образующих другую коалицию (второй игрок).
Характеристическая функция u называется простой, если она принимает только два значения: 0 и 1. Если характеристическая функция u простая, то коалиции K, для которых u(K)=1, называются выигрывающими, а коалиции K, для которых u(K) = 0, – проигрывающими.
Если в простой характеристической функции u выигрывающими являются те и только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию R, то характеристическая функция u, обозначаемая в этом случае через uR, называется простейшей.
Содержательно простые характеристические функции возникают, например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей, если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не менее двух третей голосов (квалифицированное большинство).
Более сложным является пример оценки результатов голосования в Совете безопасности ООН, где выигрывающими коалициями являются все коалиции, состоящие из всех пяти постоянных членов Совета плюс ещё хотя бы один непостоянный член, и только они.
Простейшая характеристическая функция появляется, когда в голосующем коллективе имеется некоторое “ядро”, голосующее с соблюдением правила “вето”, а голоса остальных участников оказываются несущественными.
Обозначим через uG характеристическую функцию бескоалиционной игры. Эта функция обладает следующими свойствами :
персональность
uG(Æ) = 0,
т.е. коалиция, не содержащая ни одного игрока, ничего не выигрывает;
супераддитивность
uG(KÈL) ³ uG(K) + uG(L), если K, L Ì N, KÇL ¹ Æ,
т.е. общий выигрыш коалиции не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции;
дополнительность
uG(K) + u(N\K) = u(N) 
т.е. для бескоалиционной игры с постоянной суммой сумма выигрышей коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков.
Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять следующим естественным условиям: если обозначить через xi выигрыш i-го игрока, то, во-первых, должно удовлетворяться условие индивидуальной рациональности
xi ³ u( i ), для i ÎN 
т.е. любой игрок должен получить выигрыш в коалиции не меньше, чем он получил бы, не участвуя в ней (в противном случае он не будет участвовать в коалиции); во-вторых, должно удовлетворяться условие коллективной рациональности
= u(N) 
т.е. сумма выигрышей игроков должна соответствовать возможностям (если сумма выигрышей всех игроков меньше, чем u(N), то игрокам незачем вступать в коалицию; если же потребовать, чтобы сумма выигрышей была больше, чем u(N), то это значит, что игроки должны делить между собой сумму большую, чем у них есть).
Таким образом, вектор x = (x1, ..., xn), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележём в условиях характеристической функции u.
Система {N, u}, состоящая из множества игроков, характеристической функции над этим множеством и множеством дележей, удовлетворяющих соотношениям (2) и (3) в условиях характеристической функции, называется классической кооперативной игрой.
Из этих определений непосредственно вытекает следующая
Теорема. Чтобы вектор x = (x1, ..., xn) был дележём в классической кооперативной игре {N, u},
необходимо и достаточно, чтобы
xi = u( i ) + ai, (iÎN)
причём
ai ³ 0 (iÎN)
= u(N) –
В бескоалиционных играх исход формируется в результате действий тех самых игроков, которые в этой ситуации получают свои выигрыши. Исходом в кооперативной игре является делёж, возникающий не как следствие действия игроков, а как результат их соглашений. Поэтому в кооперативных играх сравниваются не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи, и сравнение это носит более сложный характер.
Кооперативные игры считаются существенными, если для любых коалиций K и L выполняется неравенство
u(K) + u(L) < u(KÈL),
т.е. в условии супераддитивности выполняется строгое неравенство. Если же в условии супераддитивности выполняется равенство
u(K) + u(L) = u(KÈL),
т.е. выполняется свойство аддитивности, то такие игры называются несущественными.
Справедливы следующие свойства :
1) для того чтобы характеристическая функция была аддитивной (кооперативная игра – несущественной), необходимо и достаточно выполнение следующего равенства:
= u(N)
2) в несущественной игре имеется только один делёж
{u(1) , u(2) , ... , u(n) };
3) в существенной игре с более чем одним игроком множество дележей бесконечно
( u(1) + a1 , u(2) + a2 , ... , u(n) +an )
где
ai ³ 0 ( i Î N ) , u(N) —> 0
Кооперативная игра с множеством игроков N и характеристической функцией u называется стратегически эквивалентной игрой с тем же множеством игроков и характеристической функцией u1 , если найдутся такие к > 0 и произвольные вещественные Ci ( iÎN ), что для любой коалиции К Ì N имеет место равенство:
u1(K) = k u (K) +
Смысл определения стратегической эквивалентности кооперативных игр (с.э.к.и.) состоит в том что характеристические функции с.э.к.и. отличаются только масштабом измерения выигрышей k и начальным капиталом Ci. Стратегическая эквивалентность кооперативных игр с характеристическими функциями u и u1 обозначается так u~u1. Часто вместо стратегической эквивалентности кооперативных игр говорят о стратегической эквивалентности их характеристических функций .
Справедливы следующие свойства для стратегических эквивалентных игр:
Похожие работы
... запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличение запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как посева одной из возможных культур, урожай которой зависит от погоды, если известны цена единицы ...
р, на основе недостаточных данных) можно интерпретировать как конфликт принимающего решения субъекта с природой. Поэтому Теория игр рассматривается также как теория принятия оптимальных решений в условиях неопределённости. Она позволяет математизировать некоторые важные аспекты принятия решений в технике, сельском хозяйстве, медицине и социологии. Перспективен подход с позиций Теории игр к ...
... . Если а,} > О, то столбцевой игрок платит строчному; если аij < о то строчный игрок платит столбцевому; если аij = О, никто никому не платит. В качестве основного допущения в теории игр предполагается, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях партнера. Пусть имеется конечная антагонистическая игра с матрицей выигрышей строчного и ...
... в себе учащихся "маской" за которую они могут спрятаться. Учащиеся испытывают огромные затруднения, когда основной упор в обучении делается на личность обучающихся, на их непосредственный опыт. И в ролевой игре такие учащиеся получают обычно освобождение, поскольку их личность не затронута, им ненужно раскрываться. 5. Преимущество использования ролевой игры в том, что она доставляет удовольствие ...
0 комментариев