Где-то в пустыне находится лев. Требуется загнать его в круглую клетку (будьте осторожны с выбором своего местоположения).Решение

1. Где-то в пустыне находится лев. Требуется загнать его в круглую клетку (будьте осторожны с выбором своего местоположения).Решение

2. Пусть на плоскости дано конечное множество точек, причем прямая, проходящая через любые две точки этого множества, содержит также третью точку этого множества. Докажите, что все точки данного множества лежат на одной прямой (теорема Сильвестра).Решение

3. На плоскости дано конечное множество точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой, и окружность, проходящая через любые три данные точки, содержит еще одну точку этого же множества. Докажите, что тогда все данные точки лежат на одной окружности.Решение

4. Докажите, что для любых двух непересекающихся окружностей w₁ и w₂ найдется инверсия, которая переведет их в концентрические окружности w₁¢ и w₂¢. Решение

5. Даны две непересекающиеся окружности w и w¢, причем w лежит внутри w¢. Окружность w₁, одновременно касающаяся w и w¢, обладает свойством Штейнера, если найдется такая цепочка окружностей w₁,..., w_n, касающихся w и w¢ и таких, что w_i касается w_i+1 для i < n и w_n касается w₁. Докажите, что если для окружностей w и w¢ найдется хотя бы одна окружность, обладающая свойством Штейнера, то и любая окружность S₁, касающаяся w¢ внутренне и w внешне, обладает свойством Штейнера (поризм Штейнера). Решение

6. Вывести формулу Герона-Архимеда для вычисления площади треугольника ABC: S²_DABC = p(p-a)(p-b)(p-c) (обозначения из леммы 1 последнего параграфа). Решение

7. Доказать, что точка пересечения медиан DABC, ортоцентр и центр описанной около DABC окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера). Решение

8. Докажите, что центр окружности Эйлера лежит на прямой Эйлера. Решение

Указания к решению задач

1. Выходя на охоту, следует вооружиться свойством II инверсии.

2. Обозначим через d_i,j,k расстояние от точки A_i до прямой (A_jA_k), проходящей через точки A_j и A_k данного множества. Предположим противное и, например, d_1,2,3 - минимальное ненулевое число среди d_i,j,k. На прямой (A₂A₃) найдите точку A_j и получите противоречие с минимальностью d_1,2,3.

3. Сделайте инверсию с центром в одной из точек данного множества и воспользуйтесь свойством VIII и теоремой Сильвестра.

4. Докажите сначала (например, координатным методом), что для любых двух неконцентрических окружностей w₁ и w₂ геометрическим множеством точек плоскости, отрезки касательных из которых к w₁ и w₂ равны между собой, является прямая (радикальная ось окружностей w₁ и w₂). Пусть теперь a - радикальная ось окружностей w₁ и w₂ с центрами O₁ и O₂ соответственно и X - точка пересечения прямых a и (O₁O₂). Построим окружность w₃ с центром в X и радиусом равным отрезку касательной из точки X к w₁. Тогда w₃^w₁ и w₃^w₂. Обозначим через O одну из точек пересечения w₃ с (O₁O₂). Докажите теперь, что O - центр искомой инверсии (используйте лемму 2 и свойства VI и IX).

5. Переведите подходящей инверсией окружности w и w¢ в концентрические окружности.

6. Следует перемножить три равенства: 5, 6 (лемма 1) и равенство p = p.

7. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом -1/2 ортоцентр треугольника ABC перейдет в ортоцентр треугольника A¢B¢C¢, составленного из средних линий исходного треугольника. Осталось заметить, что ортоцентр DA¢B¢C¢ совпадает с центром окружности, описанной около DABC. Кстати, коэффициент гомотетии одновременно указывает на отношение, в котором точка пересечения медиан делит отрезок, соединяющий ортоцентр с центром описанной окружности DABC.

8. Докажите сначала (используя свойства средних линий), что середины (точки A₁, B₁, C₁) трех отрезков, соединяющих ортоцентр H треугольника DABC с его вершинами, лежат на окружности Эйлера. Если O_э - центр окружности Эйлера, то относительно O_э треугольники DA₁B₁C₁ и DA¢B¢C¢ (A¢, B¢, и C¢ - середины сторон DABC) будут ценрально-симметричными. Отсюда сделайте вывод, что точка O_э является серединой отрезка, соединяющего точку H с центром описанной окружности около DABC.

В следующих книгах вы можете найти дополнительную информацию по данной теме.

Список литературы

1. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Ч. 2. Гл. 28. Инверсия. М., Наука, 1986.

2. Г.С.М. Кокстер. Введение в геометрию. Гл. 6. М., Наука, 1966.

3. И.М. Яглом. Геометрические преобразования. Т. 1,2. М., Гостехиздат, 1955-56.

4. И.М. Яглом. Окружности. Энциклопедия элементарной математики. Кн. IV. М., Гостехиздат, 1963.

Сноски:

¹ Задача Фаньяно: в данный треугольник вписать треугольник наименьшего периметра.

² Точкой Ферма остроугольного треугольника ABC называется точка M, для которой сумма |MA|+|MB|+|MC| принимает наименьшее значение.

³ Л. Маскерони(1750-1800), итальянский инженер, изучал математику самостоятельно. Работы относятся к теории геометрических построений, теории многоугольников, интегральному исчислению. Результаты его геометрических исследований доложил в 1797 году на заседании Национального института Наполеон Бонапарт.

⁴ Аполлоний(2-я половина 3 в.- 1-я половина 2 в. до н.э.). Родился в Перге (Малая Азия). Главный его труд "Конические сечения" сохранился не полностью (первые четыре книги) в оригинале, частично (три последующие книги) в арабском переводе, восьмая книга утеряна. Исследуя свойства конических сечений, их диаметров, фокусов, нормалей и касательных, пользовался проективно-геометрическими методами.

⁵ Круговым называется такое преобразованием множества aÈ{¥} (a - плоскость и ¥ - бесконечно удаленная точка), при котором каждая обобщенная окружность (т.е. окружность или прямая плоскости a) отображается на обобщенную окружность. Инверсия - частный случай кругового преобразования.

⁶ Л. Эйлер (1707-1783), математик, механик, физик и астроном. Родился в Базеле. С 1726 по 1741 и с 1766 являлся академиком Петербургской АН. Список трудов Эйлера содержит более 850 названий. Основные работы относятся к вариационному исчислению, интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, степенным рядам, дифференциальной геометрии, теории чисел, небесной механике, оптике, гидродинамике. В конце 1766 года почти полностью потерял зрение, но, продолжая интенсивно работать, за 17 лет подготовил около 400 научных работ.

⁷ в случае, если треугольник ABC является тупоугольным.