Граничные условия

2. Граничные условия

При решении задач электродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. При переходе через эти поверхности физические свойства макроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции  и  являются кусочно-непрерывными функциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутри каждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах раздела двух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1) - (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, а затем полученные решения объединять с помощью граничных условий.

При нахождении граничных условий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:

, (16)

где Q – полный заряд внутри объёма интегрирования.

Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).

Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

(17)

здесь  - нормаль к границе раздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Знак «минус» во втором слагаемом обусловлен тем, что внешняя нормаль  поверхности интегрирования в среде 2 направлена противоположно нормали  в среде 1. Пусть основание цилиндра стремится к границе раздела двух сред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то , и поэтому (17) приобретёт вид:

 (18)

где  и  - значения нормальных составляющих вектора  по разные стороны поверхности раздела; - поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества. Если поверхность раздела не заряжена, то в формуле (18) необходимо положить =0. Пользоваться понятием поверхностной плотности удобно тогда, когда избыточные (сторонние) заряды расположены в очень тонком слое вещества d, а поле рассматривается на расстояниях от поверхности r>>d. Тогда из определения объёмной плотности заряда  следует:

= d = .

Если учесть, что , а  - поверхностная плотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:

где , а величина , которая входит в граничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.

Используя уравнение (2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора :

 (19)

Выражения (18) и (19) – граничные условия для нормальных составляющих векторов  и . Чтобы получить условия для тангенциальных составляющих можно использовать уравнения (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль  к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим вид прямоугольника (рис. 3).

 

Используя теорему Стокса, получим:

Перепишем это уравнение в виде:

(20)

Здесь  и - значения вектора  соответственно в средах 1 и 2,  - единичный вектор, касательный к поверхности раздела,  - нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.

Пусть теперь  при малом, но фиксированном l. Тогда ,  и соотношение (20) примет вид:

и после сокращения на l имеем:

здесь . Вектор , как следует из рисунка 2, можно записать как в виде . Тогда

предыдущее выражение можно записать, как

.

Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а следовательно, и

вектора , то имеем

 (21)

В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить =0. Учитывая, что , а  есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:

где .

Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора :

(22)

Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора  (22) и нормальной составляющей вектора  (19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора  при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора , если имеются поверхностные токи (21).

Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (0) и уравнение (4), из которых следует:

Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:

 (23)

Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:

.

Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:

;

 (24)

;

где  - нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.