Траектории автономных систем
Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий
Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
Устойчивость линейных однородных систем
Устойчивость периодических решений
Автономные системы на плоскости. Предельные циклы
Устойчивость по первому приближению
Экспоненциальная устойчивость
Теоремы второго метода Ляпунова
Устойчивость по первому приближению
Навигация
Траектории автономных систем
Устойчивость систем дифференциальных уравнений
43854
знака
0
таблиц
18
изображений
1.2. Траектории автономных систем.
Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:
(2)
где функция f(x) определена в 
.
Автономные системы обладают тем свойством, что если 
— решение уравнения (2), то 
, 
, также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение 
можно записать в виде 
. В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой 
, поэтому можно везде считать 
.
Пусть — положение равновесия, т. е. 
. Для того чтобы точка была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы 
. Предположим теперь, что траектория решения 
не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют 
, такие, что 
. Так как — не положение равновесия, то 
. Поэтому можно считать, что 
при 
. Обозначим 
и покажем, что — -периодическая функция.
Действительно, функция 
является решением уравнения (2) при 
, причем 
. В силу единственности и совпадают при всех 
. Применяя аналогичное рассуждение к решению 
, получим, что определено при 
и функции и 
совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить на все 
, при этом должно выполняться тождество
,
то есть — периодическая функция с наименьшим периодом.
Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:
положение равновесия;
замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;
траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.
1.3. Предельные множества траекторий.
Определение. Точка 
называется -предельной точкой траектории , 
, если существует последовательность 
такая, что 
при 
. Множество всех -предельных точек траектории называется ее -предельным множеством. Аналогично для траектории при 
определяется понятие -предельной точки как предела 
, а также -предельного множества.
Определение. Траектория называется положительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн. 
(
)), если существует компакт 
такой, что 
при всех (), при которых определена. Иными словами, если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазового пространства.
Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактно и связно.
Траектория называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка является -предельной и -предельной, т. е. 
. Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории, возникающие в хаотических системах.
Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае n = 2.
Похожие работы
... пакетах. Заключение Результатом выполнения курсового проекта является готовый программный продукт, позволяющий решать задачу Коши для системы дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка, демонстрирующий возможности численного решения поставленной задачи с заданной степенью точности. Готовый программный продукт может найти широкое применение при решении многих ...
... в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид: . В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе ...
... при финансовой поддержке государственной научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия». 1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных: ...
... была построена теория вложения функциональных пространств, которые в настоящее время носят название пространств Соболева. А.Н. Тихоновым была построена теория некорректных задач. Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и другие. Влияние на развитие ...
0 комментариев