Реферат

на тему:

"Решение систем дифференциальных уравнений"


1. Дифференциальная линейная алгебра

С собственными значениями и векторами матрицы приходится иметь дело в задачах, связанных с решением систем линейных дифференциальных уравнений и исследованием устойчивости этих решений. Дифференциальная векторно-матричная алгебра включает в себя операции интегрирования и дифференцирования, которые во множестве случаев в своей нотации напоминают соответствующие операции обычного дифференциального исчисления. Производная по скалярной переменной и интеграл от вектора и матрицы в заданных пределах изменения скалярной переменной определены так:

Производные от векторных и векторно-матричных выражений определяются следующими правилами:

,

,


,

,

.

2. Векторное решение однородного уравнения

Пусть система линейных однородных дифференциальных уравнений задана в векторной форме:

Если уравнение записано в форме однородного дифференциального уравнения n-го порядка и его характеристический многочлен имеет различные корни, то общее решение представляется суммой n частных решений с экспоненциальными базовыми функциями:

,

где  – константы, определяемые начальными условиями.

Можно предположить, что векторное уравнение, представляющее общее решение, имеет аналогичную форму

.


Для выяснения вопроса, что есть в таком представлении  и , подставим частное решение  в уравнение:

Отсюда видно, что  будет частным решением, если  будут собственным значением и собственным вектором матрицы A.

Таким образом, если матрица A имеет собственные значения и векторы , k=1,2,…, n, то общее решение однородного векторного уравнения после ряда эквивалентных преобразований предстанет в следующем виде:

.

Используя значение решения при t=0, находим . Таким образом, общее решение однородного векторного уравнения имеет следующий вид: .

Матричная экспонента выражается через проекторы и собственные значения матрицы по формулам спектрального разложения:

.

После подстановки X в решение вместо экспоненты получим:

.


В случаях, когда собственные значения и векторы найти не удается, матричную функцию можно разложить в ряд по степеням матрицы:

,

что позволяет численно получать многомерный переходной процесс, если ряд сходится.

Матричный ряд сходится, если существует предел последовательности частичных сумм. Достаточным условием является сходимость ряда из норм членов степенного матричного ряда. Используя, например, признак сходимости Даламбера ряд, представляющий матричную экспоненту, сходится, если существует и меньше единицы предел отношения

,

где R – радиус сходимости.

Объем вычислительной работы при оцифровке многомерного переходного процесса существенно зависит от числа членов в матричном ряде. Для повышения скорости сходимости применяют различные аппроксимации этого ряда. В частности, для экспоненты широко используются аппроксимации отрезков ряда дробно-рациональными функциями Падэ вида:

.

Так, матричная экспонента для трех и четырех членов имеет вид:


В свете приведенных разложений матричной экспоненты общее решение линейного векторно-матричного дифференциального уравнения приближенно можно вычислить по формуле:

.


Информация о работе «Решение систем дифференциальных уравнений»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 10895
Количество таблиц: 2
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
39446
2
12

... пакетах.   Заключение   Результатом выполнения курсового проекта является готовый программный продукт, позволяющий решать задачу Коши для системы дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка, демонстрирующий возможности численного решения поставленной задачи с заданной степенью точности. Готовый программный продукт может найти широкое применение при решении многих ...

Скачать
27686
0
13

... при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза3. Выбор метода реализации программы Исходя из вышеизложенного, для решения систем дифференциальных уравнений мы выбираем наиболее точный метод решения – метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений этот метод является одноступенчатым и одношаговым ...

Скачать
23188
0
17

... при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза. 3. Выбор метода реализации программы Исходя из вышеизложенного, для решения систем дифференциальных уравнений мы выбираем наиболее точный метод решения – метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. этот метод является одноступенчатым и одношаговым требует ...

Скачать
48103
0
18

... начальным условиям  . Пусть  — характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как , то оно принимает вид , где . 2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. 2.1. Устойчивость по Ляпунову. Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует ...

0 комментариев


Наверх