Навигация
Приведение задачи к канонической форме
22834
знака
3
таблицы
16
изображений
2. Приведение задачи к канонической форме
Задача линейного программирования записана в канонической форме, если она формулируется следующим образом.
Требуется найти вектор 
, доставляющий максимум линейной форме
(2.1)
при условиях
(2.2)
(2.3)
где 
Перепишем исходную задачу (1.2.1) - (1.2.2):
(2.4)
при ограничениях
(2.5)
, где 
(2.6)
В канонической форме задачи линейного программирования необходимо, чтобы все компоненты искомого вектора Х были неотрицательными, а все остальные ограничения записывались в виде уравнений. Т.е. в задаче обязательно будут присутствовать условия вида (2.3) и 8 уравнений вида (2.2), обусловленных неравенствами (2.5), (2.6).
Число ограничений задачи, приводящих к уравнениям (2.2) можно уменьшить, если перед приведением исходной задачи (2.4) - (2.6) к канонической форме мы преобразуем неравенства (2.6) к виду (2.3). Для этого перенесем свободные члены правых частей неравенств (2.6) в левые части. Таким образом, от старых переменных 
перейдем к новым переменным
, где :
, .
Выразим теперь старые переменные через новые
, (2.7)
и подставим их в линейную форму (2.4) и в неравенства (2.5), (2.6). Получим
, где 
.
Раскрывая скобки и учитывая, что
(2.8),
можем окончательно записать:
(2.9)
(2.10)
, где (2.11)
Путем несложных преобразований задачу (1.2.1), (1.2.2) свели к задаче (2.9) - (2.11) с меньшим числом ограничений.
Для записи неравенств (2.10) в виде уравнений введем неотрицательные дополнительные переменные 
, и задача (2.9) - (2.11) запишется в следующей эквивалентной форме:
(2.12)
(2.13)
, где 
Задача (2.12), (2.13) имеет каноническую форму.
3. Нахождение начального опорного плана с помощью L-задачи
Начальный опорный план задачи (2.1) - (2.3), записанной в канонической форме, достаточно легко может быть найден с помощью вспомогательной задачи (L-задачи):
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Начальный опорный план задачи (3.1) - (3.3) известен. Он состоит из компонент
и имеет единичный базис Б = 
= E.
Решая вспомогательную задачу первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4), в силу ограниченности линейной формы 
сверху на множестве своих планов (
) получим, что процесс решения через конечное число шагов приведет к оптимальному опорному плану вспомогательной задачи.
Пусть 
- оптимальный опорный план вспомогательной задачи. Тогда 
является опорным планом исходной задачи. Действительно, все дополнительные переменные 
. Значит, 
удовлетворяет условиям исходной задачи, т.е. является некоторым планом задачи (2.12) - (2.13). По построению план является также опорным.
Похожие работы
... положит в такой симплекс-таблице текущие базисные переменные равными Ai,0, а свободные - нулю, то будет получено оптимальное решение. Практика применения симплекс метода показала, что число итераций, требуемых для решения задачи линейного программирования обычно колеблется от 2m до 3m, хотя для некоторых специально построенных задач вычисления по правилам симплекс метода превращаются в прямой ...
... 0 505/103 0 792/103 669/103 500/103 Анализ Таблицы 6 позволяет сделать вывод о допустимости и оптимальности базиса XБ4=(x5, x7, x1, x2, x4)T. 3.4 Результат решения задачи планирования производства В результате решения поставленной задачи симплекс-методом получили набор производимой продукции x=(x1, x2, x3, x4, x5)=( 15145/103, 8910/103, 0, 1250/103, 3255/103), который удовлетворяет всем ...
... - метод для решения задач линейного программирования. Задачи курсовой заботы: 1. привести теоретический материал; 2. на примерах рассмотреть симплекс метод; 3. представить данную курсовую работу в виде презентации. Математическое программирование Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи ...
... . При этом значения cij соответствуют коэффициентам целевой функции исходной замкнутой транспортной задачи (1) и в последующем не изменяются. Элементы xij соответствуют значениям переменных промежуточных решений транспортной задачи линейного программирования и изменяются на каждой итерации алгоритма. Если в некоторой ячейке xij=0, то такая ячейка называется свободной, если же xij>0, то такая ...
0 комментариев