Навигация
Развитие геометрии до Евклида
83706
знаков
0
таблиц
1
изображение
2.7.1.1 Развитие геометрии до Евклида.
Геометрия – один из древнейших разделов математики.
Наибольшего развития геометрических знаний достигли древневосточные цивилизации – Египет, Вавилон, Индия, Китай. Говорить о геометрии как науке на этой стадии нельзя – это была эпоха предварительного накопления геометрических сведений.
В VII в. до н.э. благодаря торговле геометрические знания достигли Греции. Здесь геометрия получила широкое развитие, которое можно разделить на три периода:
1. (VII – VI в. до н. э.) Период является поворотным в развитии геометрии, основателем и представителем этого периода является Фалес Милетский. Греки впервые стали логически доказывать предложения геометрии в общем виде. Фалесу приписывают доказательство следующих теорем:
— угол, вписанный в полуокружность, прямой.
— вертикальные углы равны.
— углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой. и др.
Это достижение греческих математиков имело важнейшее значение в развитии геометрии, т. к. общее доказательство охватывало все возможные частные случаи. Постепенно выделялись немногие первоначальные предложения, которые получены из опыта и должны быть положены в основу геометрии без логического доказательства. Было заложено начало созданию дедуктивного, или аксиоматического метода изложения геометрии.
2. (VI – V в. до н. э.) – олицетворяется Пифагором и его школой. Пифагору предписывают доказательство следующих предложений:
— сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам;
— плоскость можно покрыть правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками;
— известная теорема Пифагора;
— открытие геометрического способа решения квадратных уравнений;
— открытие пяти правильных многогранников;
Но самым важным открытием школы Пифагора явилось открытие несоизмеримых отрезков. До этого открытия греки считали, что отношение двух любых отрезков может быть выражено рациональным числом.
Это явилось кризисом в развитии греческой математики, основное положение философии школы Пифагора, что «число есть мера вещей» потерпело поражение, а подняться до понятия иррационального числа они не сумели. Также разработка многих вопросов геометрии неизбежно приводила греческих математиков и философов к понятиям бесконечности и движения, к учению о бесконечно малых. К таким вопросам относились приближенные вычисления несоизмеримых величин, рассмотрение вопросов связанных со спрямлением окружности и квадратурой круга; вычисление объема поверхностей круглых тел и т. д. При этом греческие математики натолкнулись на глубокие противоречия и парадоксы, все это вызвало критику и споры среди философов. Нужно было сделать геометрию неуязвимой и при этом считалось, что это возможно лишь без привлечения понятий иррационального числа, бесконечности, движения.
3. (IV в. до н. э.) Философские школы в Афинах Платона и Аристотеля. С этими школами связывают два основных достижения:
— выработку принципов научного построения геометрической системы, расчленение ее предложений на аксиомы, теоремы и определения;
— разработку определенных методов и форм доказательства: анализ, синтез, доказательство от противного.
Таким образом, до III в. до н. э. геометрия в Греции накопила обильный фактический материал, назрела необходимость в его систематизации. Эта задача наиболее полное и совершенное разрешение получила в созданных Евклидом «Началах». Начался новый период развития геометрии.
2.7.1.2. «Начала» Евклида.
Эта книга намного превосходила более поздние труды математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. Достаточно сказать, что она была переведена на все языки мира и выдержала около 500 изданий. До середины XIX века все математики учились по «Началам» Евклида.
«Начала» Евклида состоят из 13 книг:
I – VI посвящены планиметрии;
VII – IX – арифметике;
Х – несоизмеримым величинам;
XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).
Но не все из того, что уже было известно, изложено в «Началах», например, теория конических сечений в «Началах» не была представлена.
Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения, аксиомы и постулаты.
Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»:
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Границы линии суть точки.
. . .
23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.
За определениями следуют постулаты и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10 аксиом.
Постулаты:
Требуется,
1. Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно.
3. И чтобы из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.
4. И чтобы все прямые углы были равны друг другу.
V постулат:
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.
Аксиомы:
1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
. . .
6. И половины равных равны между собой.
. . .
8. И целое больше части.
9. И две прямые не могут заключить пространства.
С современной точки зрения, одно из слабых мест «Начал» Евклида – это определения. Он дает определения таких понятий как точка, плоскость, прямая, т. е. стремится дать определение всем геометрическим понятиям, а это невозможно. Многие его определения крайне туманны, например:
1. «Прямая есть линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек».
2. «Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим».
Евклид в «Началах» разделил постулаты и аксиомы. Но трудно провести между ними строгую грань. С современной точки зрения все они могут называться аксиомами. Другой важный недостаток «Начал» – неполнота системы аксиом: нет аксиомы непрерывности, аксиом движения и порядка, связанных с терминами «между» и «вне».
Огромное историческое значение «Начал» Евклида в том, что они являются первым крупным научным документом по геометрии, в котором сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиом. Чтобы закончить характеристику «Начал» Евклида необходимо остановиться на особо важном вопросе – о V постулате Евклида и попытках его доказательства.
Похожие работы
... факт; доказательство получается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство от противного». Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических ...
... и понятие актуальной бесконечности. Аристотель (384-322 гг. до н.э.) отчетливо различает два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике. Понятие бесконечности подвергалось серьезной критике со стороны Зенона Элейского (около 490-430 гг. до н.э.). Зенон был учеником Парменида, главы ...
... координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений. Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии: - дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем; - показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии; - способствовать ...
... схоларх афинской школы платоников специально рассматривает проблему возвращения и в чисто концептуальном плане, что представляет безусловный интерес для проводимого здесь подхода к истории античной философии, начавшейся с сакрализации текстов Гомера и "древнейших теологов" и завершающейся их глобальным осмыслением. Приведем некоторые размышления Дамаския о возвращении. "Познаваемое является ...
0 комментариев