Навигация
Неявні схеми Рунге-Кутта
27789
знаков
1
таблица
13
изображений
5. Неявні схеми Рунге-Кутта
Викладений тут алгоритм є неявна схема Рунге-Кутта четвертого порядку. У неї, як завжди, вбудована оцінка погрішності, яка дорівнює різниці відповідей четвертого і третього порядків точності, вычисленних по використаних точках. Іншими словами, в порівнянні з рекомендованим вище явним методом Рунге-Кутта п'ятого порядку, усі порядки в точності на одиницю менше. Нагадаємо, що в методі Рунге-Кутта п’ятого порядку використовується шість точок. У неявній схемі точок буде значно менше, оскільки для неявних схем зв'язок порядку точності з кількістю використаних точок не така, як для явних схем. Наприклад, як ми вже бачили, одноточкова неявна схема може мати другий порядок точності. У нашій неявній схемі четвертого порядку ми обійдемося всього-навсього трьома точками:
На перший погляд, слід спочатку вичислити матрицю 
, а потім застосовувати її потрібну кількість разів до усім fj. Проте, як ми знаєм (див. частину I, розділ "Системи лінійних рівнянь"), це не є правильний спосіб рішення СЛР "про запас". Правильний спосіб рішення СЛР з цією матрицею 
раз і назавжди (для довільної правої частини) - це LU - розкладання матриці . При цьому матриця розкладається на ліву нижню трикутну матрицю L і праву верхню трикутну матрицю U. Після цього рішення будь-хто СЛР з матрицею будується за допомогою прямої підстановки (для матриці L) і потім зворотної підстановки (для матриці U). Кожна з підстановок вимагає N2 операцій. У нашому випадку має сенс скомбінувати праві частини усіх СЛР так, щоб кількість застосувань матриці (точніше, кількість СЛР, які потрібно вирішити) була мінімальною. Для цього досить ввести проміжні змінні 
. В результаті ми отримаємо наступний рецепт для одного кроку за часом t→t + h.
Алгоритм:
Для поточної точки 
обчислюваний 
Крім того, вираховуєм 
Виконуємо LU - розкладання матриці А. (Це робиться один раз і назавжди для цього кроку за часом t→t + h).
За допомогою LU-розкладання обчислюємо 
. Обчислюваний 
. Обчислювано 
. З допомогою LU - розкладання обчислюваний 
Обчислюємо 
Обчислюваний 
.
За допомогою LU розкладання обчислюємо
За допомогою LU розкладання обчислюваний
Обчислюємо значення 
:
Обчислюємо погрішність 
- Перетворюємо вектор Е на одне число є, що характеризує погрішність на цьому кроці.
Ця схема призводить до досить забавної поведінки "швидких" змінних. Поведінка виявляється абсолютно однаковою як у разі релаксаційного рівняння 
, так і у разі осциляторного рівняння 
. Саме, при Ch>>1 "швидкі" змінні експоненциально вибуваєть, причому швидкість вибування абсолютно не залежить від величини C:
x(t+h)=x(t)/3. Отже стійкість гарантована, але сподіватися на правильний опис еволюції "швидких" змінних не доводиться.
Повний алгоритм рішення системи ОДУ з адаптивною зміною кроку будується на основі цього рецепту таким самим чином, як будувався повний алгоритм в звичайному (явному) методі Рунге-Кутта п'ятого по-рядка. Єдина модифікація полягає в тому, що міри "1/4" і "1 /5", відповідна п'ятому порядку точність явної схеми, належить замінити на мірі "1/3" і "1/4", відповідна четвертому порядку точність неявної схеми.
Необхідно також нагадати, що для "жорсткої" системи ОДР перетворити вектор Е в одне число 6, що оцінює погрішність, набагато важче, чим для звичайної системи ОДР.
Похожие работы
... і, перебудову управлінської ієрархії), систем планування, контролю, оцінки діяльності персоналу, його винагороди. Подібні корінні перебудови - результат явної невідповідності стратегії і структури. Досвід внутрішньо фірмового управління 1950-1970-х років, коли жорсткість формалізованих, бюрократичних структур, очевидно, суперечила збільшеній динаміці змін зовнішнього середовища, показав, що часті ...
... коштів є важливим чинником у зниженні собівартості продукції чи виконаної роботи. Раціональне використання оборотних коштів залежить від правильного їхнього формування і ефективної організації виробництва. Зосередження н підприємствах зайвих оборотних коштів приводить до їхнього заморожування. Це завдає шкоди економіці господарства. Щоб уникнути такого положення, оборотні кошти нормуються, що є ...
... іонери. Залежно від стилю керівництва й політичної системи, в якій функціонує лідер, відрізняють: диктаторський тип, демократичний тип, автократичний тип, плутократичний тип. В сучасній політології використовується типологія М. Дж. Херманн, де за основу виступає імідж, “образ”, візуальна привабливість лідера: прапороносець, який має особистий погляд на реальність, майбутнє; чітко викладає цілі, ...
... ї моделі економіки і способів її побудови; на визначенні пріоритетних цінностей та економічного порядку, який повинен забезпечувати реалізацію цієї моделі. Тому розроблення філософії взаємодії держави і ринку передбачає дослідження багатогранності цього процесу, урахування впливу інституційного середовища на конкретну модель економіки. Без визначення цілей, цінностей у суспільстві неможливо ...
0 комментариев