Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А

4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

;

 

Решение:

Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А -Е, где Е – единичная матрица,  – независимая переменная.

 

А –Е =  – = .

Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения . Получаем:

Получаем:

, , .

Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть Х =  – искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А -Е) = 0 выглядит так:

 или

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При  система принимает вид:

Общее решение этой системы , где  любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение.

Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид: .

При  система принимает вид:

Общее решение этой системы , где  любое число.

Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид: .

Аналогично при  получаем систему

общее решение которой , где  любое число.

Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид: .

Ответ:  ,  ,  .

5. Решить систему методом Жорданa - Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

 

Решение:

Преобразуем расширенную матрицу системы к диагональному виду:

 

откуда получаем следующую систему

  и

 - общее решение исходной системы уравнений.

Частные решения получим присвоив конкретные значения переменной х₄:

 тогда: , т.е. решением будет вектор (0; -4; 0; -1)

 тогда: , т.е. решением будет вектор (0; 3; -1; 2).

Выполним проверку общего решения:

- верные равенства.

 

Ответ: ; (0; -4; 0; -1); (0; 3; -1; 2).

к/р № 2