Навигация
Второй замечательный предел
10638
знаков
1
таблица
1
изображение
3. Второй замечательный предел
Рассмотрим числовую последовательность 
, где 
, 
С ростом 
основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении 
сказать нельзя. Для вычисления 
воспользуемся выражением для бинома Ньютона:
. (0.0.1)
В нашем случае
.
Из полученного выражения следует, что с увеличением величина 
растет. Действительно, перейдем от к 
. Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как 
. Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то 
. Значит, числовая последовательность монотонно возрастает.
Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида 
единицей. Так как 
, то
.
Кроме того 
, 
,..., 
. Значит,
.
В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма первых членов такой прогрессии равна: 
. В нашем случае 
. С ростом величина 
будет, очевидно, стремится к единице. Значит, 
, то есть, ограничено сверху.
Итак, мы получили, что 
. Но так как монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:
Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений 
:
.
Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.
Число 
используется для введения натуральных логарифмов. Такие логарифмы обозначаются 
, при этом 
.
Следствие 3.1.
.
В частности, если 
, то 
.
Следствие 3.2.
.
В частности, если , то 
.
Похожие работы
... Зенона и решение их Аристотелем Исторический анализ позволяет по-новому увидеть и глубже понять смысл современных дискуссий, посвященных проблеме континуума и различных его видов. В своей работе мы коснемся лишь наиболее важных, узловых моментов в истории понятия непрерывности, начиная с античности и кончая XVII–ХVIII вв. Как уже упоминалось, впервые проблема континуума была поставлена Зеноном ...
... , ведении войны, обороне и т.д. Таким образом, культура - это класс символизированных предметов и явлений, рассматриваемых в экстрасоматическом контексте. До появления культурологии в процессе расширения сферы наукиi натуралистическое (т.е. немифологическое, нетеологическое) объяснение поведения людей носило биологический, психологический или социологический характер. Соответственно то или иное ...
... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...
... наибольших, наименьших значений функций. 4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений. 5. Для доказательства неравенств. Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике. Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99; Решение. Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3. Для этого потребуется ...
0 комментариев