Навигация
Пределы. Сравнение бесконечно малых величин
10638
знаков
1
таблица
1
изображение
Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин
Содержание
1. Предел числовой последовательности
2. Предел функции
3. Второй замечательный предел
4. Сравнение бесконечно малых величин
Литература
1. Предел числовой последовательности
Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства.
Определение 1.1. Если каждому натуральному числу 
по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное число 
, то множество чисел 
называется числовой последовательностью.
Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности.
Определение 1.2. Число 
называется пределом числовой последовательности , если для любого числа 
существует такой номер числовой последовательности 
, зависящий от 
, что для всех номеров числовой последовательности 
выполняется условие 
.
Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут 
.
Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов.
Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для любых двух номеров числовой последовательности 
и 
, которые удовлетворяют условию и 
, было бы справедливо неравенство 
.
Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность сходится, значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел . Выберем какое-то число . Тогда, по определению предела числовой последовательности, существует такой ее номер , что для всех номеров выполняется неравенство . Но так как произвольно, то будет выполняться и 
. Возьмем два каких-то номера последовательности и , тогда
.
Отсюда следует, что , то есть необходимость доказана.
Достаточность. Дано, что . Значит, существует такой номер , что для данного условия и . В частности, если , а 
, то 
или 
при условии, что . Это значит, что числовая последовательность для 
ограничена. Следовательно, по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей 
должна сходиться. Пусть 
. Докажем, что сходится к также.
Возьмем произвольное . Тогда, согласно определению предела, существует такой номер 
, что для всех 
выполняется неравенство 
. С другой стороны, по условию дано, что у последовательности существует такой номер , что для всех и будет выполняться условие 
.
Выберем 
и зафиксируем некоторое 
. Тогда для всех получим:
.
Отсюда следует, что , что и требовалось доказать.
Определение 1.3. Числовая последовательность называется монотонно возрастающей, если выполняется неравенство 
, и монотонно убывающей, если 
.
Теорема 1.2. Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху числовая последовательность имеет предел.
Аналогичная теорема есть и для монотонно убывающей числовой последовательности.
Похожие работы
... Зенона и решение их Аристотелем Исторический анализ позволяет по-новому увидеть и глубже понять смысл современных дискуссий, посвященных проблеме континуума и различных его видов. В своей работе мы коснемся лишь наиболее важных, узловых моментов в истории понятия непрерывности, начиная с античности и кончая XVII–ХVIII вв. Как уже упоминалось, впервые проблема континуума была поставлена Зеноном ...
... , ведении войны, обороне и т.д. Таким образом, культура - это класс символизированных предметов и явлений, рассматриваемых в экстрасоматическом контексте. До появления культурологии в процессе расширения сферы наукиi натуралистическое (т.е. немифологическое, нетеологическое) объяснение поведения людей носило биологический, психологический или социологический характер. Соответственно то или иное ...
... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...
... наибольших, наименьших значений функций. 4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений. 5. Для доказательства неравенств. Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике. Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99; Решение. Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3. Для этого потребуется ...
0 комментариев