Довести, що похідна Фреше диференційовного в точці відображення визначається єдиним чином

1. Довести, що похідна Фреше диференційовного в точці відображення визначається єдиним чином.

Доведення

Нехай , – дві похідні Фреше в точці x, тоді

, де (1)

, де (2)

Розглянемо різницю (2)-(1):

, якщо

Це прямування до нуля нетривіально, тобто

 

якщо .

Тобто, похідна Фреше диференційованого відображення визначається єдиним чином.

2. Довести, що якщо оператор f диференційовний за Фреше в точці x, то f неперервний в цій точці.

Доведення

Якщо  та , то .

3. Довести, що якщо , то  (нульовий оператор).

Доведення.

Нехай оператор  диференційовний за Фреше, тобто

, де

Нехай , тоді ( – нульовий оператор)

, звідки (нульовий оператор, який діє на h).

4. Довести, що похідною Фреше лінійного неперервного відображення є саме це відображення.

Доведення.

Нехай оператор  диференційований за Фреше, тобто

, де .

 – лінійний неперервний оператор

5. Нехай f, g – два неперервних відображення з X в Y. Довести, що якщо f та g диференційовні за Фреше в точці x, то відображення f+g та cf, де c-const, також диференційовні в цій точці, причому

,

Доведення.

Розглянемо

, якщо .

Тепер

,

якщо .

6. Нехай , де – дійсний гільбертів простір. Знайти похідну Фреше в точці x.

Розв’язок.

Тобто, .

7. Знайти похідну Фреше функціонала  в точці x дійсного гільбертова простору.

Розв’язок

Нехай , . Тоді .

Розглянемо , . Тоді

Тепер

, де .

Тоді

, де .

8. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

Нехай

, .

Тоді

.

Розглянемо , . Тоді

, де .

9. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

Нехай

, , , .

Тоді

.

10. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

Нехай , , , . Тоді

, .

11. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

Нехай , ,, . Тоді

.

12. Задано відображення . Довести, що .

Доведення

Розглянемо для

, якщо

Лінійність:

Обмеженість:

Остаточно маємо .

13. Задано відображення . Довести, що .

Доведення

Розглянемо для

Остаточно маємо .

14. Задано відображення . Довести, що .

Доведення

Розглянемо для

Остаточно маємо .

15. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

,

причому

.

Лінійність:

, , тобто , ,

Обмеженість:

.

Остаточно знаходимо, .

16. Довести, що необхідною і достатньою умовою диференційовності за Фреше відображення  в точці x є диференційовність ( в звичайно-му сенсі) функції багатьох змінних  в точці .

Доведення

Необхідність. Нехай відображення  диференційовне за Фреше в точці x: .

Функція  в точці  називається диференційовною, якщо

,(*)

де .

Приведемо  до вигляду (*):

,

,

Виберемо , тоді

Виберемо , тоді знаходимо

, і т.д.

Виберемо , тоді

 і

,

, .

Достатність. Нехай відображення  диференційовне в звичайному сенсі: . Перевіримо лінійність та обмеженість по h. Адитивність та однорідність для скалярного добутку вірні, тому лінійність є.

Обмеженість:

, де

Остаточно знаходимо .

Розглянемо два приклади

1. ,

тоді

, .

2. , тоді

17. Знайти похідну Фреше відображення  в точці :

Розв’язок.

;;

;

18. Нехай  і , де – стандартний базис в . Знайти похідну Гато .

Розв’язок

Якщо , то  відображає  в . Дійсно, позначимо , ряд  збігається, тоді збігається й ряд , так що  для довільного .

Обираємо за напрямок одиничного вектора орт  і знаходимо

Тоді

Похідна  існує і дорівнює

.

19. Якщо відображення диференційовне за Фреше, то воно диференційовне за Гато. Обернене твердження в загальному випадку невірне. Наприклад, в просторі  розглянемо функцію

Дослідимо функцію на неперервність в точці (0,0):

Якщо , то і . Тобто  неперервна в точці (0,0).

Розглянемо

Тобто, відображення  диференційовне за Гато.

Розглянемо

 

– функція двох змінних, покладемо , нехай  і розглянемо

,

тобто відображення  не диференційне за Фреше.

20. Якщо диференціал Гато є обмеженим функціоналом, то він називається градієнтом функціонала і позначається .

Нехай Н – дійсний гільбертів простір, . Обчислити .

Розв’язок

За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що

.

21. Нехай Н – дійсний гільбертів простір, . Обчислити .

Розв’язок

За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що

.

22. Нехай Е – нормований простір. норма диференційовна за Гато. Розглянемо функціонал . Обчислити норму функціонала .

Розв’язок

З одного боку , з іншого боку – . Отже, , тобто .

Розглянемо

.

Переходячи до , нерівність зберігається:

, , отже .

23. Довести, що градієнт норми є непарним оператором, тобто довести співвідношення: .

Доведення

Нехай . Розглянемо

24. Нехай , де  неперервна за обома аргументами і неперервно диференційовна за другим аргументом, а – неперервна функція. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

,

Відповідь:

.

25. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках:

1)

Згідно з задачею 24 , тоді

, , .

2)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

3)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

4)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

5)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

6)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

26. Нехай , де  неперервна за всіма аргументами і двічі неперервно диференційовна за третім аргументом. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

, ,

Відповідь:

.