Навигация
Оценка величины и нахождение собственных значений
21092
знака
0
таблиц
9
изображений
10. Оценка величины и нахождение собственных значений
Краткое рассмотрение основных теоретических положений линейной алгебры позволяет сделать следующие выводы: для успешного решения систем линейных алгебраических уравнений и вычислений матричных функций необходимо уметь находить ее собственные значения и собственные векторы.
Для любой матрицы A с действительными компонентами и любого ненулевого вектора v существует отношение Рэлея, связывающее скалярное произведение векторов v и Av с минимальным и максимальным собственными значениями:
.
К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или оказывается вырожденной.
Характеристическое уравнение матрицы A с кратным корнем 
можно записать в виде
.
На основании этой записи можно составить минимальное характеристическое уравнение 
, для которого матрица A также является корнем:
.
Особенности в части определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных матрицах (
). Некоторые из них никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например, не поддаются диагонализации матрицы n-го порядка, которые не имеют n линейно независимых собственных векторов. Однако любая матрица A размера 
с помощью преобразования подобия может быть приведена к прямой сумме жордановых блоков или к канонической жордановой форме:
,
где A – произвольная матрица размера 
;
– жорданов блок размера 
;
V – некоторая невырожденная матрица размера .
Характеристическое уравнение жорданова блока размера независимо от количества единиц в верхней диагонали записывается в виде произведения 
одинаковых сомножителей и, следовательно, имеет только кратных корней:
.
Если выразить матрицу V в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов 
, то из равенства AV=VJ для каждого жорданового блока следует соотношение
.
Здесь 
в зависимости от структуры верхней диагонали, в которой может быть либо ноль, либо единица. Если жордановы блоки имеют размер 
, то мы имеем случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями.
При поиске решений систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами.
Один из возможных подходов к решению несимметричных линейных систем состоит в замене исходной системы эквивалентной системой:
.
Недостаток этого подхода состоит в том, что мера обусловленности произведения матрицы A на свою транспонированную, оцениваемая отношением 
, оказывается больше, чем у матрицы A.
Под мерой обусловленности понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений.
Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами коэффициентов.
Литература
1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов – 3-е изд. М: Высшая школа, 2009. – 840 с.
2. Самарcкий А.А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд. 3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208 с.
3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304 с.
4. Хеннер Е.К., Лапчик М.П., Рагулина М.И. Численные методы. Изд-во: «Академия/Academia», 2004. – 384c.
5. Чистяков С.В. Численные и качественные методы прикладной математики. СПб: 2004. – 268 с.
Похожие работы
в первом столбце. Матрице соответствует множество решений системы линейных уравнений Ответ: получили решение: Задача 2 Даны координаты вершин треугольника АВС Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты CD; 6) ...
... решение линейного интегрального уравнения составим алгоритм. Представим алгоритм в виде блок-схемы. y[i]=B[i,m]; Используя данную блок-схему, напишем соответствующую функцию. Функция решения линейных интегральных уравнений будет реализована на С++. bool solvefredholm2(const double& a, const double& b, const int& n, ap::real_1d_array& y, ...
... шаг интегрирования ; tp – время интегрирования трех точечным методом прогноза и коррекции , ta – время интегрирования по методу Адамса-Башфорта , NU – массив начальных условий . Данная процедура способна производить решения систем линейных дифференциальных уравнений произвольного размера , на произвольном промежутке времени интегрирования . Вычисленные данные записываются в файлы prandcom*.df . ...
... понятия собственного числа линейного оператора А. 120. Определите, каким является базис а=(1/, 1/,1/), b=(1/, -1/, 0), с =(1/, 1/,-2/). Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Билет № 26 121. Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса. Пример. 122. ...
0 комментариев