Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Реферат

Тема: «Линейные системы уравнений»

 


Содержание

 

1. Уравнения, векторы, матрицы, алгебра

2. Умножение матриц как внешнее произведение векторов

3. Нормы векторов и матриц

4. Матрицы и определители

5. Собственные значения и собственные векторы

6. Ортогональные матрицы из собственных векторов

7. Функции с матричным аргументом

8. Вычисление проекторов матрицы

Пример использования числовых характеристик матриц

10. Оценка величины и нахождение собственных значений

Литература

 


1. Уравнения, векторы, матрицы, линейная алгебра

Многие из рассмотренных нами задач сводились к формированию систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений, которые требовалось решить. Пока системы включали в себя не более трех-четырех переменных, их несложно было решать известными классическими методами: методом определителей (Крамера) или методом исключения переменных (Гаусса). С появлением цифровых вычислительных машин порядок алгебраических уравнений, решаемых методом исключений вырос в несколько десятков раз. Однако выявилось множество причин, по которым решение таких систем получить не удавалось. Появившиеся различные модификации метода исключения не привели к существенным улучшениям ситуации с получением решений. Появление же систем с количеством переменных более многих сотен и тысяч заставили обратиться и развивать итерационные методы и методы эквивалентных векторно-матричных преобразований применительно к решению линейных систем алгебраических уравнений.

Основные теоретические результаты были получены путем обобщения известных классических методов функционального анализа и алгебры конечномерных линейных пространств на векторно-матричные представления систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Общая форма записи линейной системы алгебраических уравнений с n неизвестными может быть представлена следующим образом:

Здесь  – неизвестные,

 – заданные числа,

 – заданные числовые коэффициенты.

Последовательность записи уравнений в системе и обозначение неизвестных в последней не играет роли. В этом плане удобно при анализе и исследованиях системы использовать упорядоченную индексацию натурального ряда для неизвестных, значений правых частей и коэффициентов в уравнениях, однозначно привязывая, тем самым, каждое слагаемое и каждое уравнение к определенной позиции в общей записи. В результате можно выделить в данной записи уравнений три позиционно упорядоченных неделимых объекта:

список переменных – ,

список правых частей –  и

матрицу коэффициентов – .

Первые два объекта в линейной алгебре называют вектором-строкой, а второй – квадратной матрицей.

Операции с векторами, матрицами должны быть определены так, чтобы однозначно отображать допустимые эквивалентные преобразования исходной системы алгебраических уравнений. В предельных случаях задания векторов и матриц: ,  – аддитивные и мультипликативные операции должны переходить в аналогичные операции со скалярными величинами.

Если рассмотреть i-тую строку исходной системы

,


то в ней кроме упорядоченного расположения компонент  присутствует упорядоченное по индексу j размещение коэффициентов , которые могут рассматриваться как вектор-строка . Результатом суммы покомпонентного перемножения двух векторов-строк должно быть число. В линейной алгебре такая операция с векторами определена и названа скалярным или внутренним произведением векторов:

.

Скалярное произведение линейно, так как обладает основными свойствами линейных преобразований , и коммутативно.

Определение скалярного произведения позволяет переписать исходную систему уравнений в виде вектора с компонентами из скалярных произведений:

или

.

Вторая форма представления векторов в форме столбцов более наглядна в смысле зрительного установления покомпонентного равенства двух векторов: стоящего слева от знака равенства и справа. Эта форма, форма вектора-столбца принята за каноническую (основную).

Левый вектор-столбец в записи каждой строки содержит вектор неизвестных и естественно желание вынести его за прямые скобки. Оставшиеся коэффициенты упорядочены, как в матрице . Теперь для представления исходной системы уравнений в виде  несложно определить векторно-матричную операцию , результатом которой является вектор с i-той компонентой, равной .

Аксиоматическое построение линейной (векторной) алгебры с рассмотренными базовыми операциями позволило установить важные и полезные свойства, как самих объектов алгебры, так и их алгебраических выражений.


Информация о работе «Линейные системы уравнений»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 21092
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 9

Похожие работы

Скачать
7857
3
7

в первом столбце. Матрице  соответствует множество решений системы линейных уравнений Ответ: получили решение:   Задача 2   Даны координаты вершин треугольника АВС Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты CD; 6) ...

Скачать
10018
0
5

... решение линейного интегрального уравнения составим алгоритм. Представим алгоритм в виде блок-схемы. y[i]=B[i,m];   Используя данную блок-схему, напишем соответствующую функцию. Функция решения линейных интегральных уравнений будет реализована на С++. bool solvefredholm2(const double& a, const double& b, const int& n, ap::real_1d_array& y, ...

Скачать
22411
1
13

... шаг интегрирования ; tp – время интегрирования трех точечным методом прогноза и коррекции , ta – время интегрирования по методу Адамса-Башфорта , NU – массив начальных условий . Данная процедура способна производить решения систем линейных дифференциальных уравнений произвольного размера , на произвольном промежутке времени интегрирования . Вычисленные данные записываются в файлы prandcom*.df . ...

Скачать
30711
0
1

... понятия собственного числа линейного оператора А. 120.            Определите, каким является базис а=(1/, 1/,1/), b=(1/, -1/, 0), с =(1/, 1/,-2/). Зав. кафедрой --------------------------------------------------   Экзаменационный билет по предмету ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Билет № 26 121.            Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса. Пример. 122.            ...

0 комментариев


Наверх