Навигация
Раскрыть скобки, привести подобные, учитывая тот факт, что суммирование ведется по модулю p
21743
знака
0
таблиц
12
изображений
7. Раскрыть скобки, привести подобные, учитывая тот факт, что суммирование ведется по модулю p.
Рассмотрим подробнее следствие 2 из теоремы 1:
Циклотомический класс для элемента 
: {1, 2, 4 ,8} для этих четырех элементов будут одинаковые минимальные полиномы.
Рассмотрим более подробно пример нахождения минимальных полиномов для GF(24).
Построение GF(24) рассмотрено выше, будем пользоваться готовым результатом.
Таблица 2. Представление GF(24).
Начнем с элемента 
. Исходя из формулы 1, запишем множество сопряженных элементов:
Так как все элементы получились одинаковыми, то циклотомический класс будет состоять из одного элемента – {0}.
При помощи теоремы 2 запишем: m0(a0) = (x - a0 ), заменим a0 на элемент поля.
Минимальная функция для элемента a0:m0(a0) = (x + 1)
Элемент .
Используя формулу 1, получим циклотомический класс. {1, 2, 4, 8}.
Используя теорему 2, запишем разложение минимального полинома.
Теперь заменим a на элементы поля, после раскрытия скобок и приведения подобных получим минимальный полином для элементов со степенями 1, 2, 4, 8.
Элемент 
.
Исходя из теоремы 1 и следствия из нее, для элемента минимальный полином будет равен полиному для элемента .
Элемент 
.
Используя формулу 1, запишем циклотомический класс: C = {3,6,12,24}, как видно элемент со степенью 24 отсутствует в представлении поля GF(24). Если разделить 
на полином, по модулю которого производилось построение GF(24), то получим остаток 
. 
Используя теорему 2, запишем разложение минимального полинома:
m3(x) = (x – a3 ) (x – a6 ) (x – a9 ) (x – a12 ).
Теперь, раскрыв скобки и приведя подобные, получим полином m3(x) = x4 + x3+ x2 + x1+1.
Следовательно, это полином для элементов со степенями 3,6,12,9.
Элемент 
.
Минимальный полином этого элемента равен полиному элемента
Элемент
.
Используя формулу 1, запишем циклотомический класс: C = {5,10,5,10}. Так как элементы класса совпали, то в классе останется два элемента C = {5,10}.
Используя теорему 2, запишем разложение минимального полинома:
m5(x) = (x – a5 ) (x – a10 ) = x2 + x+1
Элемент
.
Минимальный полином этого элемента равен полиному элемента
Элемент
.
Используя формулу 1, запишем циклотомический класс: C = {7,14,28,56}. Так как 
, то C = {7,14,11,13}
Используя теорему 2, запишем разложение минимального полинома:
m7(x) = (x – a7 ) (x – a14 ) (x – a11 ) (x – a13 ) = x4 + x3+1
Нетрудно убедиться, что для остальных элементов минимальные полиномы уже найдены выше.
2. О циклических кодах и корнях порождающего полинома с точки зрения конечных полей
Следует отметить, что в данном разделе будет рассмотрено описание циклических кодов с точки зрения конечных полей только в рамках нахождения порождающего полинома. Наиболее понятное полное рассмотрение циклических кодов с точки зрения конечных полей можно найти в книге [2].
Теорема 3. Циклический код длины n с порождающим полиномом g(x) существует тогда и только тогда, когда g(x) делит 
.
Следствие из теоремы 3. Порождающий полином циклического кода длины n можно найти, разложив полином на простые множители:
где s – число простых множителей. Произведение произвольного подмножества этих множителей дает порождающей многочлен g(x). Если g(x) – порождающий полином, то он делит , и, следовательно, 
. Полином g(x) можно найти, найдя все его простые делители.
Простые делители есть не что иное, как функции минимума или минимальные полиномы. Таким образом, зная корни минимальных полиномов, можно легко найти порождающий полином кода. Исходя из сказанного в предыдущих разделах, можно сделать вывод, что поле 
как раз содержит корни минимальных полиномов, а следовательно содержит корни порождающего полинома.
Резюме:
1. Порождающий полином не что иное, как произведение его простых делителей .
2. Пусть 
- корень полинома
. Тогда не что иное, как функция минимума для .
Похожие работы
... , если его длина n=qm-1 над GF(q). Если длина кода меньше длины примитивного кода, то код называется укороченным или непримитивным. Общее свойство кодовых слов циклического кода - это их делимость без остатка на некоторый многочлен g(x), называемый порождающим. Результатом деления двучлена xn+1 на многочлен g(x) является проверочный многочлен h(x). При декодировании циклических кодов используются ...
... кодов используются так называемые сверточные коды, контрольные биты, в которых формируются непрерывно из информационных и контрольных бит смежных блоков. Выводы Таким образом, в результате написания реферата, пришли к выводу, что коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема – это широкий класс циклических кодов, способных исправлять многократные ошибки. БЧХ-коды играют заметную роль в теории и практике ...
... ? 8. Какими программами можно воспользоваться для устранения проблем и ошибок, обнаруженных программой Sandra? Раздел 3. Автономная и комплексная проверка функционирования и диагностика СВТ, АПС и АПК Некоторые из достаточно интеллектуальных средств вычислительной техники, такие как принтеры, плоттеры, могут иметь режимы автономного тестировании. Так, автономный тест принтера запускается без ...
... мероприятия по обеспечению однородности выпускаемой продукции. Все эти мероприятия можно объединить в четыре группы: 1. совершенствование технологии производства; 2. автоматизация производства; 3. технологические (тренировочные) прогоны; 4. статистическое регулирование качества продукции. 2.10. Проектирование технологических процессов с использованием средств ...
0 комментариев