Випадок довільного проміжку

6. Випадок довільного проміжку

Припустимо, що функція  задана в проміжку  довільної довжини  в ньому. Якщо вдатися до підстановки

,

те вийде функція  від  у проміжку , теж кусочно-диференцуєма, до якої вже прикладемо розгляду попереднього параграфа. Як ми бачили, за винятком крапок розриву й кінців проміжку, можна розкласти її в ряд Фур'є:

коефіцієнти якого визначаються формулами Ейлера-Фур'є:

 

 

повернемося тепер до колишньої змінного , думаючи

.

Тоді одержимо розкладання заданої функції в тригонометричний ряд трохи зміненого виду:

 (19)

Тут косинуси й синуси беруться від кутів, кратних не , а . Можна було б і формули для визначення коефіцієнтів розкладання перетворити тією же підстановкою до виду

  (20)

 

Відносно кінців проміжку зберігають силу зауваження, зроблені в попередньому параграфі щодо крапок  Звичайно, проміжок  може бути замінений будь-яким іншим проміжком довгі  зокрема, проміжком . В останньому випадку формули (20) повинні бути замінені формулами

  (20a)

 

7. Випадок парних і непарних функцій

Якщо задана в проміжку  функція  буде непарної, то очевидно

У цьому легко переконається:

.

Таким же шляхом установлюється, що у випадку парної функції :

.

Нехай тепер  буде кусочно-диференцуєма в проміжку  парна функція. Тоді добуток  виявиться непарною функцією, і по сказаному

Таким чином, ряд Фур'є парної функції містить одні лише косинусів:

 (21)

Тому що в цьому випадку буде теж парною функцією, те, застосувавши сюди друге зі зроблених вище зауважень, можемо коефіцієнти  розкладання написати у вигляді

(22)

Якщо ж функція  буде непарної, то непарної буде й функція , так що

 

Ми доходимо висновку, що ряд Фур'є непарної функції містить одні лише синусів:

(23)

При цьому через парність добутку можна писати:

 (24)

Відзначимо, що кожна функція , задана в проміжку , може бути представлена у вигляді суми парних і непарної тридцятимільйонних функцій:

,

Де

Очевидно, що ряд Фур'є функції  саме й складеться з розкладання по косинусах функції  й розкладання по синусах функції .

Припустимо, далі, що функція  задана лише в проміжку . Бажаючи розкласти її в цьому проміжку в ряд Фур'є ми доповнимо визначення нашої функції для значень x у проміжку  по сваволі, а потім застосуємо сказане в пункті "Випадок неперіодичної функції".

Можна використовувати сваволю у визначенні функції в проміжку  так, що б одержати для  розкладання тільки лише по косинусах або тільки по синусах. Дійсно, представимо семі, що для  ми думаємо , так що в результаті виходить парна функція в проміжку . Її розкладання, як ми бачили, буде містити одні лише косинуси. Коефіцієнти розкладання можна обчислювати по формулах (22), куди входять лише значення спочатку заданої функції .

Аналогічно, якщо доповнити визначення функції  за законом непарності, то вона стане непарної й у її розкладанні будуть одні лише синуси. Коефіцієнти її розкладання визначаються по формулах (24).

Таким чином, задану в проміжку  функцію при дотриманні умов виявляється можливим розкладати як по косинусах, так і по одним лише синусах.

Особливого дослідження вимагають крапки  й . Тут обоє розкладання поводяться по-різному. Припустимо, для простоти, що задана функція  безперервна при  й , і розглянемо спочатку розкладання по косинусах. Умова , насамперед, зберігає безперервність при , так що ряд (21) при  буде сходитися саме к. Тому що, далі,

те й при  має помста аналогічна обставина.

Інакше є справа з розкладанням по синусах. У крапках  і  сума ряду (23) явно буде нулем. Тому вона може дати нам значення  й, мабуть, лише в тому випадку, якщо ці значення дорівнюють нулю.

Якщо функція  задана в проміжку  те, удавшись до тієї ж заміни змінної, що й у попередньому параграфі, ми зведемо питання про розкладання її в ряд по косинусах

або в ряд по синусах

до тільки що розглянутого. При цьому коефіцієнти розкладань обчислюються, відповідно, по формулах

 

або

 .