Визначення коефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є

1. Визначення коефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є

У попередньому параграфі було сказано, що існує ряд функцій, які можна представити у вигляді нескінченного тригонометричного ряду. Для того, що б установити можливість розкладання деякої функції , що має період у тригонометричний ряд виду:

 (4)

потрібно мати набір коефіцієнтів

Прийом для знаходження цих коефіцієнтів у другій половині XVIII століття був застосований Ейлером і незалежно від нього на початку XIX Фур'є. Надалі будемо припускати функцію безперервної або у проміжку . Допустимо, що розкладання (4) має місце. Інтегруємо його по членне від до ; у результаті одержимо:

Але, як легко бачити,

 (5)

Тому всі члени під знаком суми будуть рівнятися нулю, і остаточно одержуємо

 (6)

Для того щоб знайти значення коефіцієнта , помножимо обидві частини рівності (4) на  й знову інтегруємо по членне в тім же проміжку:

У виді (5) .

якщо , і, нарешті,

 (9)

Таким чином, звертаються в нуль всі інтеграли під знаком суми, крім інтеграла, при якому множником є саме коефіцієнт . Звідси одержуємо:

 

Аналогічно, множачи розкладання (4) на й потім, інтегруючи по членне, визначимо коефіцієнт при синусі:

 

Формули, по яких обчислюються коефіцієнти , називаються формулами Ейлера-Фур'є, а самі коефіцієнти називаються коефіцієнтами Фур'є для даної функції. І, нарешті, тригонометричний ряд (4), складений по цих коефіцієнтах, одержав назву ряд Фур'є для даної функції.

Дамо тепер звіт у тім, яка логічна цінність проведених міркувань. Ми виходили з того, що тригонометричний ряд (4) має місце, тому питання про те, чи відповідає це дійсності, залишається відкритим. Ми користувалися повторно по членним інтегруванням ряду, а ця операція не завжди можна, достатньою умовою для застосування операції є рівномірна збіжність ряду. Тому строго встановленою умовою можна вважати лише наступне:

якщо функція f(x) розкладається в рівномірно збіжний тригонометричний ряд (4), то цей ряд буде її поруч Фур'є.

Якщо ж не припускати наперед рівномірності збіжності, то всі наведені вище міркування не доводять навіть того, що функція може розкладатися тільки в ряд Фур'є. Ці міркування можна розглядати лише як наведення, достатнє для того, щоб у пошуках тригонометричного розкладання даної функції почати її з ряду Фур'є, зобов'язуючись установити умови, при яких він сходиться й притім саме до даної функції.

Поки цього не зроблено, ми маємо право лише формально розглядати ряд Фур'є даної функції, але не можемо про нього нічого затверджувати, крім того, що він "породжений" функцією f(x). Цей зв'язок звичайно позначають так:

уникаючи знака рівності.

2. Ортогональні системи функцій

Дві функції й  певні на проміжку  називаються ортогональними на цьому проміжку, якщо інтеграл від їхнього добутку дорівнює нулю:

Розглянемо систему функцій , певних у проміжку [a, b] і безперервних або кусочно-безперервних. Якщо всі функції даної системи попарно ортогональні, тобто

 

те неї називають ортогональною системою функцій. При цьому завжди будемо думати, що

Якщо , то система називається нормальної. Якщо ж ця умова не виконується, то можна перейти до системи , що уже свідомо буде нормальною.

Найважливішим прикладом ортогональної системи функцій саме і є тригонометрична система

 (10)

у проміжку , що ми розглядали раніше. Її ортогональність треба зі співвідношень (5), (7), (8). Однак вона не буде нормальної через (9). Множачи тригонометричні функції (10) на належні множники, легко одержати нормальну систему:

 (10*)

Нехай у проміжку  дана яка-небудь ортогональна система функцій . Задамося метою розкласти певну у  функцію в "ряд по функціях " виду:

 (11)

Для визначення коефіцієнтів даного розкладання надійдемо так само, як ми це зробили в попередньому параграфі, а саме помножимо обидві частини рівності на  й інтегруємо його по членне:

У силу ортогональності системи, всі інтеграли праворуч, крім одного, будуть дорівнюють нулю, і легко виходить:

 (m=0, 1, 2, …) (12)

Ряд (11) з коефіцієнтами, складеними по формулах (12), називається узагальненим рядом Фур'є даної функції, а самі коефіцієнти-її узагальненими коефіцієнтами Фур'є щодо системи . У випадки нормальної системи функцій коефіцієнти будуть визначатися в такий спосіб:

У даному випадки всі зауваження зроблені в попередньому параграфі необхідно повторити. Узагальнений ряд Фур'є, побудований для функції , пов'язаний з нею лише формально й у загальному випадку цей зв'язок позначають у такий спосіб:

Збіжність цього ряду, як і у випадку тригонометричного ряду, підлягає ще дослідженню.

3. Інтеграл Дирихле Принцип локалізації

Нехай  буде безперервна або кусочно-безперервна функція з періодом . Обчислимо постійні (її коефіцієнти Фур'є):

 

 

і по них складемо ряд Фур'є нашої функції

Як бачимо, тут коефіцієнт  ми визначили по загальній формулі для  при , але зате вільний член ряду запишемо у вигляді .

Якщо функція F(x) кусочно-безперервна в будь-якому кінцевому проміжку й до того ж має період , то величина інтеграла

по колишньому проміжку довжини  не залежить від .

Дійсно, маємо

Якщо в останньому інтеграла зробити підстановку , то він доведеться до інтеграла

і лише знаком буде відрізнятися від першого інтеграла. Таким чином, розглянутий інтеграл виявляється рівним інтегралу

уже не утримуючому .

Для того щоб досліджувати поводження ряду в якій-небудь певній крапці , складемо зручне вираження для його часткової суми

Підставимо замість  і  їхні інтегральні вираження й підведемо постійні числа  під знак інтеграла:

Легко перевірити тотожність

Скористаємося цією тотожністю для перетворення вираження, остаточно одержимо

 (13)

Цей інтеграл називають інтегралом Дирихле, хоча у Фур'є він зустрічається набагато раніше.

Тому що ми маємо справу з функцією від u періоду , то проміжок інтегрування  по зробленому вище зауваженню можна замінити, наприклад, проміжком

Підстановкою  перетворимо цей інтеграл до виду

Потім, розбиваючи інтеграл на два:  і приводячи другий інтеграл шляхом заміни знака змінної теж до проміжку , прийдемо до такого остаточного вираження для часткової суми ряду Фур'є:

 (14)

Таким чином, справа зводиться до дослідження поводження саме цього інтеграла, що містить параметр n.

Для подальшого викладу матеріалу нам буде потрібно одна лема, що належить Риману, що ми залишимо без доказу.

Якщо функція  безперервна або кусочно-безперервна в деякому кінцевому проміжку , то

і, аналогічно,

Якщо згадати формули, що виражають коефіцієнти Фур'є , то в якості першого безпосереднього наслідку з леми виходить твердження:

Коефіцієнти Фур'є  кусочно-безперервної функції при  прагнуть до нуля.

Другим безпосереднім наслідком є так званий "принцип локалізації".

Взявши довільне позитивне число , розіб'ємо інтеграл в (14) на два: . Якщо другий з них переписати у вигляді

те стане ясно, що множник при синусі

є кусочно-безперервною функцією від t у проміжку . У цьому випадку по лемі цей інтеграл при  прагне до нуля, так що й саме існування межі для часткової суми ряду Фур'є й величина цієї межі цілком визначається поводженням одного лише інтеграла

Але в цей інтеграл входять лише значення функції f(x), що відповідають зміні аргументу в проміжку від  до . Цим міркуванням доводиться "принцип локалізації", що складає в наступному:

Поводження ряду Фур'є функції f(x) у деякій крапці  залежить винятково від значень, прийнятих цією функцією в безпосередній близькості розглянутої крапки, тобто в як завгодно малій її околиці.

Таким чином, якщо взяти дві функції, значення яких у довільно малій околиці  збігаються, то як би вони не розходилися поза цією околицею, що відповідають цим функціям ряди Фур'є поводяться в крапці  однаково: або обоє сходяться, і притім до однієї й тій же сумі, або обоє розходяться.