Замкнутые и открытые множества

2. Замкнутые и открытые множества

Пусть задано множество .

Точка  называется предельной точкой множества , если из того, что  и , следует, что .

Предельная точка  может принадлежать и не принадлежать , но если все предельные точки  принадлежат , то множество  называет­ся замкнутым.

Таким образом, множество  замкнуто, если из того, что  и , следует, что .

Пустое множество считается замкнутым.

Пример 1. Пусть  есть функция, определенная и непрерывная на  и  — любое число.

Множества 1) , 2) , 3)  замкнуты.

Доказательство в случае 1). Пусть  и ; тогда  и . Но тогда и , т.е. .

Пример 2. Шар V= есть замкнутое множество в силу

примера 1, потому что функция определена и непрерывна на .

Отметим, что если— замкнутое множество, то — открытое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то в  существовала бы точка ,которая не есть внутренняя точка . Выходит, что, каково бы ни было натуральное число , должна найтись точка, для которой

Мы получили бы последовательность точек  , . Но  по условию замкнуто, и потому . Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что .

Обратно, если  — открытое множество, то  — замкнутое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последова­тельность точек , и . Но  — открытое множество, и  можно покрыть шаром с центром в ней, полностью при­надлежащим . Получилось противоречие с тем, что любой такой шар содержит точки .

Пример 3. Пусть  — непрерывная функция. 1) множество  замкнуто, а  открыто. 2) множество  замкнуто, а  открыто.

Если задано произвольное непустое множество , отличное от , то  можно представить в виде суммы трех непересекающихся попарно множеств:

,

где  — совокупность внутренних точек  — это открытое ядро ,  — совокупность внутренних точек  — это открытое ядро ,  — совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для , но и не есть внутренняя для . Такие точки называются граничными точками , а  называется границей ;  открыто,  открыто, + тоже открыто, = замкнуто.

Таким образом, граница есть замкнутое множество.

Любую граничную точку  множества  можно определить как такую точку , что любой шар с центром в ней содержит как точки , так и точки . Сама точка  может принадлежать и не принадлежать .

Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.

Любое из множеств , входящих в теоретико-множественную сумму (1), может оказаться пустым.

Пример 4. Пусть ; тогда  ,  — открытое ядро, — открытое ядро ,— граница  (не принадлежит ).

Пример 5.  — множество точек  с рациональными координатами.  — открытое ядро  — пустое множество,  — открытое ядро  — пустое множество,  — граница .

В следующих двух теоремах устанавливаются основные свойства замкнутых множеств. При этом рассматриваются множества, содержащиеся в одном и том же метрическом пространстве .

Теорема 1. Сумма конечного числа замкнутых множеств также – замкнутое множество.

Доказательство. Так как сумму любого конечного числа множеств можно образовать последовательным прибавлением по одному множеству, то достаточно доказать теорему для суммы двух множеств.

Пусть  и  - замкнутые множества,  и . В последовательности  существует бесконечная частичная последовательность , состоящая целиком из точек одного из данных множеств, например . Но  тоже стремится к , и так как  замкнуто, то , а потому .

Теорема 2. Пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство. Пусть  и все  замкнуты. Если  и , то все  при любом , а потому и  при любом . Следовательно, , и  замкнуто.

В дальнейшем важную роль будет играть операция замыкания произвольного множества , заключающаяся в присоединении к множеству  пределов всех сходящихся последовательностей его точек. Получаемое таким образом множество обозначается  и называется замыканием множества .

В  замыканием интервала , будет отрезок . Однако в произвольном метрическом пространстве для замыкания открытого шара имеет место лишь включение , но равенство вовсе не обязательно.

Лемма 1: всякая точка  представима в виде , где .

Лемма 2: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было , существовала такая точка , что .

Теорема 3. Замыкание любого множества замкнуто.

Теорема 4. Замыкание  есть наименьшее замкнутое множество, содержащее .

Пусть . Если к множеству  добавить все его предельные точки, то получим множество, называемое замыканием  и обозначим его так: .

У замкнутого множества  предельных точек, не принадлежащих ему, нет. В самом деле, любая точка  есть внутренняя точка множества . Таким образом, если  — замкнутое множество, то .

Точка  называется точкой сгущения множества M, если в каждой ее окрестности содержится хоть одна точка множества M, отличная от .

Точки сгущения для открытой области, не принадлежащие ей, называются пограничными точками этой области. Пограничные точки в их совокупности образуют границу области. Открытая область вместе с границей называется замкнутой областью. Напомню, что открытой областью называется множество, целиком состоящее из внутренних точек.

Похожие работы

Исследование законов предельной производительности

Скачать

10342

0

0

... о неоклассической производственной функции, то понятию предельной полезности из теории потребления и теории производства соответствует понятие предельной производительности (dY/dXi), которое является здесь одним из ключевых. Законы же убывающей предельной полезности и убывающей предельной нормы замещения, потребительских благ в теории производства сформулировонны как закон убывающей предельной ...

Теория предельной полезности.

Скачать

5630

0

0

... меньшей и меньшей полезностью,то потребитель станет покупать дополнительные единицы продукта лишь при условии снижения их цены.Потребитель купит, скажем два гамбургера по цене 1$, но вследствие убывающей предельной полезности дополнительных единиц продукта он предпочтет не покупать больш этого продукта по данной цене, т.к., отдавая деньги, он фактически отказывается от других товаров, т.е. ...

Основные теоретические положения органической химии. Насыщенные (предельные) углеводороды

Скачать

40715

1

5

... -либо внешнего воздействия, и, наоборот, иногда требуются интенсивные внешние воздействия (катализаторы) для того, чтобы вызвать обратимые переходы изомеров друг в друга. Распространенное в органической химии явление, заключающееся в существовании двух или нескольких изомерных форм молекул, находящихся в состоянии динамического равновесия, называется таутомерией. В настоящее время установлено, ...

Предельное равновесие балок и рам

Скачать

18020

1

1

... . Пластический шарнир имеет следующие отличия: 1)     в нём действует изгибающий момент, равный Mu ; 2)     он односторонний; 3)     при уменьшении нагрузки он может закрыться. 2.         Предельное равновесие балок и рам   Приведенное вначале определение предельного состояния системы слишком общее и для достижения результата должно быть конкретизировано. Для балок и рам, материал которых ...