Упрощение и преобразование выражений

2.  Упрощение и преобразование выражений

Сложные алгебраические и тригонометрические выражения могут быть приведены к эквивалентным путем упрощения. Операции с полиномами реализуют четыре функции: collect, expand, horner, factor.

Функция collect – вычисляет коэффициенты при степенях независимой переменной

Синтаксис

R=collect(S)

R=collect (S, v)

S – массив символьных полиномов.

Ø  Функция собирает однородные члены по степеням переменной x.

Ø  Функция R=collect (S, v) выполняет ту же функцию, но только по отношению к независимой переменной, указанной в качестве второго аргумента (в данном случае v).

Примеры

>> syms x y

>> R1=collect((exp(x)+x)*(x+2))% здесь слагаемые группируются по степеням x

R1 =

x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)

>> R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1), y)% здесь слагаемые группируются по степеням y

R2 =

y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)

>> R3=collect([(x+1)*(y+1), x+y])% здесь указаны сразу два многочлена, которые требуется сгруппировать по степеням x

R3 =

[(y+1)*x+y+1, x+y]

Функция expand – позволяет раскрыть символьное выражение

Синтаксис

R=expand(S)

Функция R=expand(S) позволяет раскрыть каждый элемент символьного выражения S. Эта операция применяется к полиномам, тригонометрическим, экспоненциальным и логарифмическим функциям.

Примеры

>> expand((x‑2)*(x‑4))

ans =

x^2–6*x+8

>> expand (exp((x+y)^2))

ans =

exp (x^2)*exp (x*y)^2*exp (y^2)

>> expand([sin (2*x), cos (2*x)])

ans =

[2*sin(x)*cos(x), 2*cos(x)^2–1]

syms t;

s=expand([sin (2*t) cos (2*t)])

s =

[2*sin(t)*cos(t), 2*cos(t)^2–1]

Функция factor – позволяет разложить символьное выражение на простые множители

Синтаксис

R=factor(N)

R=factor(S)

Ø  Функция R=factor(N), где N – положительное целое число или целочисленный массив, возвращает каноническое разложение числа или элементов массива в виде произведения простых множителей.

Ø  Функция factor(S), где S – матрица полиномов, возвращает разложение каждого элемента массива на простые множители.

Примеры

>> syms a b;

>>factor([a*a-b*b, a^3+b^3])

ans =

[(a-b)*(a+b), (a+b)*(a^2‑a*b+b^2)]

>>factor (sym('123'))

ans =

(3)*(41)

Функция simple – позволяет упростить символьное выражение

Синтаксис

Simple(S)

R=simple(S)

[R, How]=simple(S)

Ø  Функция simple(S) выполняет разные алгебраические преобразования над символьным выражением S, выводит на экран варианты укороченных выражений и возвращает в конце концов самое короткое.

Ø  Функция R=simple(S) выполняет те же самые операции, но не выводит на экран промежуточных результатов.

Функция [R, How]=simple(S) в дополнение к основному результату выводит в качестве второго аргумента строку How, которая указывает выполненное преобразование.

Примеры

>> [R, How]=simple (cos(x)^2+sin(x)^2)

R=1

How=combine

>> [R, How]=simple (2*cos(x)^2‑sin(x)^2)

R=3*cos(x)^2–1

How=simplify

>> [R, How]=simple (cos(x)^2+(-sin(x)^2)^(1/2))

R=cos(x)^2+i*sin(x)

How=radsimp

>> [R, How]=simple (cos(x)+i*sin(x))

R=exp (i*x)

How=convert(exp)

>> [R, How]=simple((x+1)*x*(x‑1))

R=x^3‑x

How=collect(x)

>> [R, How]=simple (x^3+3*x^2+3*x+1)

R=(x+1)^3

How=factor

>> [R, How]=simple (cos(3*acos(x)))

R=4*x^3–3*x

How=expand

Функция numden – выполняет приведение символьных полиномов к рациональной форме

Синтаксис

[N, D]=numden(A)

Ø  Функция [N, D]=numden(A) преобразовывает каждый элемент символьного массива A к рациональной форме в виде отношения двух неприводимых полиномов с целочисленными коэффициентами. N, D – соответственно символьные массивы числителей и знаменателей элементов массива.

Примеры.

>>syms x y a b

>> [N, D]=numden (x/y+y/x)

N=x^2+y^2

D=x*y

>>A=[a, 1/b]

>> [N, D]=numden(A)

N=[a, 1]]

D=[1, b]

Функция subs – выполняет подстановку значений символьных переменных

Синтаксис

subs(S)

subs (S, NEW)

subs (S, OLD, NEW)

subs (S, OLD, NEW, 0)

Ø  Функция subs(S) заменяет свободные символьные переменные их числовыми значениями, которые берутся либо из вызываемой функции, либо из рабочей области системы MATLAB.

Ø  Функция subs (S, OLD, NEW) заменяет свободные символьные переменные OLD новыми символьными переменными или числовыми значениями из списка NEW. Если OLD и NEW – массивы ячеек одинакового размера, то каждый элемент массива OLD заменяется соответствующим элементом массива NEW. Если символьное выражение S и список OLD – скаляры, а NEW – числовой массив или массив ячеек, то скаляры расширяются до размера массива. Если подстановка subs (S, OLD, NEW) не изменяет символьного выражения S, то выполняется подстановка subs (S, NEW, OLD). Чтобы предотвратить попытку обратной подстановки, следует использовать обращение subs (S, OLD, NEW, 0)

Примеры.

>>a=980

>>c1=3

>>syms t

>>y=dsolve (‘Dy=-a*y’);

>>subs(y)

ans=3*exp (-980*t)

Однокомпонентная подстановка

>>syms a b

>>subs (a+b, a, 4)

ans=4+b

Многокомпонентная подстановка:

>>subs (cos(a)+sin(b), [a, b], [sym(‘alpha’), pi/2)

ans=cos(alpha)+sin (pi/2)

Подстановка матрицы вместо скаляра:

>>subs (exp(a*t), ’a’, – magic(2))

ans=

[exp(-t), exp (-3*t)]

[exp (-4*t), exp (-2*t)