Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем производную

3. Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, следовательно, интеграл от данной функции найден, верно.

5. Определенный интеграл

Определение определенного интеграла. Пусть функция  задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками

.

Точки, разделяющие отрезок [а, b] на частичные отрезки  длиной , называются точками разбиения. Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку . Образуем сумму произведений

,

называемую интегральной суммой для функции  на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины s показан на рис. 2.. Это сумма площадей прямоугольников с основаниями  и высотами .

При этом числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами, выражение  – подынтегральным выражением,  – подынтегральной функцией.

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми  при , осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции . В этом состоит его геометрический смысл.

Если предположить, что  – производительность труда в момент t, то  будет численно равен объему произведенной продукции за промежуток , т. е. определенному интегралу можно придать экономический смысл.

у В  Мi mi А О х0=а хi  хi+1 b= хn х Рис. 2

Предел интегральной суммы  при стремлении  к нулю, не зависящий от способа выбора точек  и точек , называется определенным интегралом от функции  на [а, b] и обозначается

Определенный интеграл обладает рядом свойств, аналогичных свойствам неопределенного интеграла:

1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;

2) интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов от этих функций (свойство линейности).

Кроме того, определенному интегралу присущи свойства, не имеющие аналогов в теории неопределенных интегралов:

3) интеграл от постоянной величины равен этой постоянной, умноженной на длину отрезка интегрирования

;

4) при перемене местами пределов интегрирования интеграл изменяет лишь знак

;

5) интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

;

6) для любых чисел а, b и c имеет место равенство

.

Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой

Решение:

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда  или . Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной  в выражение  и найдем нижний предел интегрирования новой переменной . Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной , найдем верхний предел интегрирования новой переменной . Тогда

  6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений

До сих пор рассматривались функции  одной переменной х. В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие функции нескольких переменных.

Пусть каждому набору значений n переменных величин  из множества M , называемых независимыми переменными, по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

z   y O x M   Рис. 3

Функция одной переменной  изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения M функции  представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оxy и тогда графиком функции является некоторая поверхность (рис. 3).

Приведем примеры функций нескольких переменных.

1. Функция вида , где  – постоянные числа, называется линейной или гиперплоскостью -мерном пространстве.

2. Функция вида  , где  – постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных .

При рассмотрении функций в n-мерном пространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3.

Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для , переносятся на случай . Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции  в точке , если для любого числа  можно найти число  такое, что для всех точек  из d-окрестности точки М выполняется неравенство . Для обозначения предела функции в точке используется символика

.

Окрестностью точки  называется круг, содержащий точку М.

В случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах функции в точке вдоль определенных линий.

Функция  называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. . Геометрический смысл непрерывности функции при  очевиден: график функции  представляет собой в точке непрерывности  сплошную поверхность в некоторой окрестности этой точки.

Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x² + y², x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].

Решение.

Необходимое условие экстремума  = 2х = 0,  = 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (х_ст, у_ст) = (0, 0).

Вторые производные А = = 2; В = = 0; С = = 2. Так как AC - B² = 4 > 0, то в точке (0, 0) — локальный минимум.

Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.

Литература: Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, 2000. - 864 с. Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.