Характеры конечной мультипликативной абелевой группы G образуют конечную мультипликативную абелевую группу Ĝ

5. Характеры конечной мультипликативной абелевой группы G образуют конечную мультипликативную абелевую группу Ĝ.

Под произведением двух характеров χ' и х χ'' группы G будем понимать характер х, определяемый следующим свойством:

χ (AB) = χ' (A) χ'' (В)

Для любого элемента АÎG, имеем:

χ (АВ) = χ' (АВ) χ'' (АВ) = χ' (А) χ' (В) · χ'' (А) χ'' (В) = χ(А) χ(В)

Таким образом, получаем χ ' χ '' действительно является характером.

Роль единичного элемента группы G играет главный характер χ₁

Обратным элементом G является:

χ₂ (g₁ g₂) =  ==  = χ₂(g₁) χ₂(g₁)

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности

Пусть G – конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:

S = ,

где А пробегает все элементы G, и сумму

Т =

где c пробегает все элементы группы характеров Ĝ.

Рассмотрим чему равна каждая из сумм.

а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,

S·c (В) = c (В) =  =  = S.

Получили Sc (В) = S, откуда следует, что (c (В) – 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:

1) S = 0, то c (В) – негативный характер

2) S≠0, то c (В) = 1 для каждого элемента В?G и в этом случае c (В)= c₁(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,

S =  = { (1.2)

б) Если мы умножим сумму Т на некоторый характер c’ группы Ĝ, то аналогичным образом получим

c’ (А) Т =  c’ (А) =  = Т,

Следовательно,

1) или Т = 0, то А ≠Е

2) или Т ≠ 0, то c’ (А) = 1 для каждого характера c’? G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. И тогда Т=h. Таким образом,

Т = = {

  1.3 Характеры Дирихле

Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что j(m) приведенных классов вычетов по модулю m образуют мультипликативную абелеву группу порядка h=j(m). Мы можем, следовательно, рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенных классов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим

c(а)= c(А), если аÎА,

где А – приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, c(а)= c(b) (mod m), и c(ab)= c(а) c(b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку c(А)¹0 для каждого приведенного класса вычетов А, то c(а)¹0, если (a, m)=1.

Это определение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.

Мы можем рассмотреть его на все целые числа, положив

c(а)=0, если (a, m)>1.

Следовательно, характер по модулю m есть арифметическая функция c, обладающая следующими свойствами:

c(а)= c(b), если с=b (mod m)

c(ab)= c(a) c(b) для всех целых a и b

c(а)=0, если (a, m)>1

c(а)¹0, если (a, m)=1

Имеется точно j(m) – количество характеров по модулю m, где j(m) – количество положительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативную абелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементом этой группы будет главный характер c_1, то есть такой характер, что c₁(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:

= {

= {

 

Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначная функция, определенная для всех целых чисел n, называется числовым характером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяет следующим условиям:

а) c (n) = 0 тогда и только тогда, когда (n, m) ≠ 1

б) c (n) периодична с периодом m

в) для любых чисел а и b

c (аb) = c (а) c (b)

Функция

c₁(n) = {

является числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю m называются неглавными.

Имеет место следующее утверждение о числовых характерах.

Теорема 1 Существует равно φ(m) числовых характеров по модулю m. Если c = c (n) – числовой характер по модулю m, то:

1) для n, взаимно простых с модулем m, значения c (n) есть корень из 1 степени φ(m).

2) для всех n выполняется неравенство /c (n)/ ≤1

3) Имеет место равенство

{

4) Для каждого целого числа n

 = {

Доказательство. Пусть c (n) – некоторый числовой характер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что c (n) задает некоторую функцию c’() = c (n) на мультипликативной группе классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно

c’() = c (n)

Здесь  обозначает класс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как c(1) ≠ 0, то c’() не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что c’() = c’() = c’ (ab) = c (a) c (b) = c’()c’().

Таким образом, c’() есть характер модультипликативной группы G_m.

Обратно, по каждому характеру c’() группы G_m можно построить числовой характер c (n) по модулю m, положив

{

Установленное соответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуют из доказанного выше для групповых характеров применительно к группе G_m, если учесть, что порядок группы G_m равен φ(m), где φ(m) – функция Эйлера.

В дальнейшем требуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого c, c ≥ 1

Где суммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим c.

Лемма 2. Пусть c (n) – неглавный характер. Тогда для каждого c, c ≥ 1 справедливо неравенство

/S(x)/<m

Доказательство. Функция c (n) периодична с периодом m и по теореме з

0, так как c≠ c₁

Поэтому, представив [c] – целую часть числа c – в виде [c]=m1+z, 0£z£m, будет иметь

S(c) =S([c])=q

В виду равенства /c(n)/£1 отсюда получили S(c)£z£m

2. L-функция Дирихле

Пусть х(п) – произвольный характер по модулю m. Рассмотрим ряд

, (2.1)

члены которого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости он определяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующей характеру c(n), и обозначается L (s, c).

Лемма 3

1. Если c¹c₁, то ряд (1) сходится в области ReS > 0 и определяемая им функция L (s, c) является аналитической в этой области.

2. Ряд, определяющий L (S, c₁), сходится в области ReS >1. Функция L (S, c₁) является аналитической в области ReS > 1.

Доказательство.

Пусть c(n) – произвольный характер по модулю m, а б – некоторое положительное число. Так как /c(n)/ £ 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство

Следовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, c) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.

Для неглавных характеров c(n) потребуется более сложное исследование ряда (1).

Лемма 4 (преобразование Абеля).

Пусть a_n, n=1,2,…, – последовательность комплексных чисел, c>1,

А(c)=

а q(t) – комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1£t£¥

Тогда

(2.2)

Если же

то

(2.3)

при условии, что ряд в левой части равенства сходится.

Доказательство. Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любом натуральном N

так как А(0)=0. Далее

поскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале n£t<n+1. Следовательно, равенство (2.2) доказано при целых значениях х.

пусть х³1 – произвольное число. Положим N=[x]; значит, N£x£N+1. Тогда А(х)=А(N), B(x)=B(N), а

Следовательно,

Тем самым доказано, что равенство (2.2) верно и для нецелых чисел значений х.

Равенство (2.3) получаем из равенства (2.2) переходом к пределу при х®¥. Лемма доказана.

Воспользовавшись леммой 4, получим следующее равенство

(2.4)

где

функция, введенная Лемме 4.

Для s = p+it из области ReS = s, где s – некоторое положительное число, пользуясь леммой 4, находим

Поэтому интеграл

сходится в области ReS > s. Поскольку в этой области выполняется неравенство

то из равенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > s. Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа s. Значит, ряд (1) сходится в полуплоскости ReS > 0.

Из равенства (2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавному характеру c(n), справедливо представление

(2.5)

так как

Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде

(2.6)

Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >s, что следует из равенств

При этом использовано, что на полуинтервале n£х< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Поскольку

то ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >s. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.

является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >s.

Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >s, а ввиду произвольности S – s и b полуплоскости ReS > 0.

Следствие. Пусть c (n) – произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство

(2.7)

Это следует из того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+s, где s>0. Следовательно, по теореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области ряд (2.1) можно почленно дифференцировать

Поэтому в полуплоскости ReS>1+s выполняется равенство (2.7). Так как в этом рассуждении s-любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо в полуплоскости ReS>1.

Для L-функций имеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам, аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.

Лемма 5. Пусть функция f(n) вполне мультипликативна и ряд

(2.8)

абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство

(2.9)

Доказательство. Отметим прежде всего, что /f(n)/<1 при любом натуральном n>1. В противном случае при каждом mÎN

/f(n)^m/=/f(n)/^m³1,

что противоречит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р ряд

абсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р))^-1. Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получим

где n_e= p^a … p^as и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(n_e), что все просты делители n_eне превосходят х. Следовательно, в разности

остаются те и только те слагаемые f(m_e), для которых у числа m_e имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность

/S-S(x)/£

и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что

Это доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.

Лемма 6. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо представление

Доказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция c(n) вполне мультипликативна, то есть c(АВ)= c(А) c(В), и выполняется неравенство /c(n)/£ 1 по теореме 1.

Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера c₁(n) по модулю m справедливо равенство

(2.10)

и поэтому функция L (S, c₁) может быть аналитически продолжена в область ReS > 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.

Действительно, по определению главного характера c₁(n) имеет место равенство

Поэтому

Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.

Следствие 2. Для каждого характера c функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.

Доказательство.

Если s = ReS > 1. то

Пользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находим

Получаем:

L (S,c) ≥ > 0

Теперь докажем утверждения, что L – функция, соответствующая неглавному характеру c, точке S =1 отлична от нуля.

Теорема 2. Если c – неглавный характер, то L (1, c)≠0

Для доказательства рассмотрим 2 случая

1. Пусть характер c – комплексное число, не является действительным. Тогда характер c²(n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета – функции на прямой ReS=1.

Лемма7. Пусть 0<ч<1, а х – действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 – ч)³ (1 – че^ix)⁴ (1 – че^2ix)/^-1 ≥ 1

Доказательство.

Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение

– ln (1 – z) = (2.11)

Так как ln(t) = Re lnt, то обозначая М (ч φ), левую часть неравенства (2.11), получим

lnM (ч φ) = 3ln (1 – ч) – 4 ln (1 – чеⁱ⁴) – ln (1 – че²ⁱ⁴) = – 3ln (1-ч) – 4Reln/1 – чеⁱ⁴/ – Reln/1 – че²ⁱ⁴/=rc (3+4e)^inl/1-reⁱ⁴/= (3+4cosnl+2cos2nl)= (2+4cosa+1+cos2a)=1 (1+cosa)²³0

ln=M (r, l)=³0

Следовательно, M (r, l)=³1 доказана.

Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:

|L³(8, c₁) L⁴(S, c) 4 (S, c⁴) 1 = П (1- )³(1- )⁴(1- )|^-1 (2.12)

Получая в лемме ч = р^-s, т.е.

0< ч = c₁(р)<1

0< р^-s<1

c (р) р^-s = чеⁱ⁴, в силу того что c (р) – комплексное

c (р) р^-s= че²ⁱ⁴

Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:

|L³(Sc₁) · L⁴(Sc) L (Sc²)| ≥ 1 (2.13)

Допустим, что для некоторого характера c (c²≠c₁) выполняется равенство

L (1, c) = 0 (2.14)

Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана

ξ(S) ≤ , следует, что при S ? R, S>1 выполняется неравенство

а) 0 < 4 (S, c₁) =

получили 0<L (S, c₁)≤

б) Функция L (S, c) разложим в ряд Тейлора

L (S, c) = C_p + C₁ (S – 1) + C₂(S – 1)² +… + C_n(S – 1)ⁿ +…

Предположим, что у нее есть нуль L (1, c) = 1; тогда С₀ = 0

Перепишем разложение L – функции в ряд

L(S^c) = C_к (S – 1)^к + С_к+1(S – 1)^к+1 = (S – 1)¹ (C_к + С_к+1(S -1)+….), где к≥1, С_к ≤ 0, т. к. S>1

| L (S, c)| = |S – 1|^k| C_k + C_k+1(S – 1) +….| ≤ 2 C_k|S – 1)^k, при |S – | < r

Функция L (S, c²) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что c комплексное и c²≠c₁

Получаем неравенство:

L (S, c²) ≤ C,

При условии | S – 1|< δ

Учитывая все неравенства и оценки

| L³ (S, c) L⁴(S, c) L (S, c²)| = ()³ · 2⁴ |C_k|⁴ (S – 1)^4k· C≥1

Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.