Приложение теоремы Гурвица

6. Приложение теоремы Гурвица

В 1878 г. Немецкий математик Г. Фробениус доказал следующую замечательную теорему.

Теорема Фробениуса. Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трех: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.

Впоследствии был установлен более общий результат, который можно назвать обобщенной теоремой Фробениуса.

Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная алгебра с делением изоморфна одной из четырех алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел, алгебре кватернионов или алгебре октав.

Альтернативной алгеброй называется алгебра, в которой для любых двух элементов a, b справедливы равенства ,.

Чтобы доказать эти теоремы, перечислим сначала некоторые свойства ассоциативной алгебры с делением.

Утверждение 1. Алгебра А содержит 1.

Утверждение 2. Если элемент  не пропорционален 1, то совокупность  элементов вида  образует подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел.

Утверждение 3. Если элементы  не принадлежат одной подалгебре , то совокупность элементов вида образует подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

Доказательство теоремы Фробениуса.

Дадим сначала другое определение альтернативной алгебры.

Пусть a, b –два произвольных элемента алгебра А. Рассмотрим всевозможные произведения, составленные из них. Если каждое такое произведение не зависит от способа расстановки скобок, алгебра А называется альтернативной.

При доказательстве теоремы будем использовать второе определение альтернативности, т.е. докажем следующую теорему: Если алгебра А с делением такова, что любое произведение, составленное из двух произвольных элементов a, b, не зависит от расстановки скобок, то алгебра А изоморфна одной из четырех алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел, алгебре кватернионов или алгебре октав.

Доказательство утверждения 1. Найдя элемент е из уравнения xa=a и умножив обе части равенства ea=a слева на е, получим e(ea)=ea или, учитывая ее альтернативность, (ee)a=ea. Отсюда следует, что ее=е. Опять-таки в силу альтернативности имеем (be)e=b(ee) и e(ec)=(ee)c, т.е. (be)e=be и e(ec)=ec. Отсюда следует be=b и ec=c. Значит е - единица алгебры.

Другие утверждения примем без доказательства.

Попытаемся доказать, что алгебра А является нормированной. Отсюда по теореме Гурвица будет следовать нужный нам результат.

Введем в алгебре А операцию сопряжения следующим образом. Если элемент а пропорционален 1, то . Если же а не пропорционален 1, то, согласно утверждению 2, он содержится в комплексной подалгебре . В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент , который мы и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре А.

Из определения  непосредственно вытекает , а также , где  - любое.

Для вывода других свойств сопряжения нам необходимо выяснить один вопрос. Пусть элемент а не пропорционален 1. Рассмотрим какую-либо кватернионную подалгебру , содержащую а. В этой подалгебре для а тоже имеется сопряженный элемент . Будет ли он совпадать с определенным выше элементом ? Покажем, что будет.

Элементы а и , как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям  и , где t, p – действительные числа.

Элементы а и  как сопряженные в алгебре кватернионов удовлетворяют аналогичным условиям:  и , где k, l – действительные числа.

Вычтем из последних равенств предыдущие, получим:  и  и если , то из этих соотношений вытекает, что элемент а пропорционален 1, что противоречит предположению.

Т.о., элемент, сопряженный а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры  (т.е. как комплексное число) или же как элемент какой-либо подалгебры (т.е. как кватернион).

Заметим попутно, что то же самое относится и к модулю элемента а. Поскольку  как в случае комплексных чисел, так и в случае кватернионов, то модуль элемента а не зависит от ого, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной или же кватернионной подалгебры.

Из того, что доказано нами относительно сопряжения, легко следует, что для любых двух элементов a и b алгебры А справедливы равенства

,

Действительно, если a и b принадлежат одной комплексной подалгебре (т.е.  совпадает с ), то написанные равенства суть свойства сопряжения в этой подалгебре; если же b не содержится в , то эти равенства снова справедливы – уже как свойства сопряжения в .

Из  и из  вытекает, что элемент, сопряженный  равен ; следовательно, , n – действительное число.

Определим в алгебре А скалярное произведение (a, b) с помощью формулы . Что выражение (a, b) обладает всеми свойствами скалярного произведения, проверяется просто. Напомним эти свойства:

, если  и (0,0)=0

В данном случае свойство 2 очевидно, 2-е свойство вытекает из , 3-е из . Для доказательства 1-го свойства следует написать

и учесть, что модуль комплексного числа а строго положителен, если , и равен нулю, если а=0.

Заметим, что из последнего равенства следует , т.е. норма элемента а в алгебре А совпадает с модулем а как комплексного числа (или кватерниона).

Т.к. любые 2 элемента a и b алгебры А принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то  (ведь алгебра комплексных чисел, так же как и алгебра кватернионов, является нормированной), или (ab,ab)=(a,a)(b,b). Но это равенство как раз и означает нормированность алгебры А. Дальше вступает теорема Гурвица, согласно которой алгебра А изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, кватернионов, октав. В этом как раз и заключается обобщенная теорема Фробениуса.[7]

Приведем еще одно применение теоремы Гурвица (или тождества Гамильтона).

Теорема Лагранжа.

.

Лемма. Для любого простого числа p>2 найдется число  , такое что mp=a+b+c, a, b, c.

Доказательство:

Рассмотрим два множества чисел:

K={0, 1, 4, ..., }, L={-1-0, -1-1, -1-4, ..., -1-}.

В каждом из множеств числа попарно несравнимы по модулю p. В самом деле, возьмем  из множества K (или, эквивалентно, -1-k-1-k из множества L), где , . Если kk(mod p), то (k+k)(k-k) 0 (mod p). . Но 0< k+k <p и 0<| k-k|<p, поскольку k<p/2, k<p/2 и . Противоречие.

Всего в этих двух множествах p+1 чисел, следовательно, среди них найдутся сравнимые по модулю p, т. е. такие числа  из первого множества и  из второго, что . Откуда  для некоторого . Теперь, поскольку k<p/2, <p/2, получаем mp=<<, а значит, m<p. Лемма доказана.

Доказательство теоремы Лагранжа:

Докажем, что любое простое число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Для p=2 имеем . Для p>2, по предыдущей лемме, найдется такое m<p, что число mp можно представить в виде mp=(n можно положить равным 0). Выберем теперь минимальное натуральное m, обладающее таким свойством. Покажем, что оно равно 1. Пусть m четно. Тогда либо все n имеют одинаковую четность, либо среди них есть два четных и два нечетных (нумерация этих чисел не важна, поэтому пусть n n(mod 2), а nn(mod 2). В обоих случаях числа

 являются целыми. Имеем:

=,

значит,  также представляется в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Но , а m, по предположению, минимальное число с таким свойством. Противоречие.

Пусть m нечетно. Тогда числа n можно представить в виде n=qm+m(). причем |m|<. Тогда

mp= =sm+,

 где s - некоторое целое число.

Следовательно, =mn , где n - неотрицательное целое число. Если n=0, то все m=0, n=qm, и тогда mp= =mk, где k - натуральное, т. е. p=mk, m<p, а это означает, что m=1. Предположим теперь, что n1. По теореме Гурвица получаем

()()=, где

s=,

s=,

s=,

s=.

По определению, mn(mod m), т. е. s 0(mod m) и, значит, . Аналогично доказывается, что  при i=2, 3, 4. Но тогда (в силу неравенств |m|<) получаем: nm= , т. е. n<m, и в итоге mp*nm=, откуда np=, что противоречит минимальности m. Итак, всякое простое число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Тогда, по теореме Гурвица, и любое составное число представимо в таком виде. Наконец, 1=. Теорема доказана.[6]

Пример 3.

Заключение

Мы рассмотрели различные системы «чисел», которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя «мнимых единиц». Доказали, что существуют тождества с большим, чем 2, числом квадратов и описали их (теорема Гурвица). Было выяснено, что

+

=+

+

Так же было найдено приложение теоремы Гурвица.

Я добилась целей, которые перед собой поставила.

Список используемой литературы

1.  Charles W. Curtis “Linear algebra” An Introductory Approach (Fourth Edition), Springer Verlag, 1984, xvii - 347 pp.

2.  Rowe David E. “Jewish Mathematics” at Göttingen in the Era of Felix Klein. Isis, Vol. 77, No. 3, (Sep., 1986) – 432 pp

3.  Калужин Л. А. “Основная теорема арифметики, Популярные лекции по математике” М.: Наука, 1969 г. - 32 стр.

4.  Кантор И.Л., Солодовников А.С. “Гиперкомплексные числа” М.: Наука, 1973. - 144 с.

5.  Тиморин В.А. “Квадратичная математика” - 2005

6.  Тихомиров В. М. “ Великие математики прошлого и их великие теоремы” М.: МЦНМО, 2003.- 16 с.

7.  Херстейн И. “Некоммутативные кольца” М.: Мир, 1972. - 192 c.