Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби

2.2 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби

Згідно [2] для наближеного розрахунку числа p побудований наступний ланцюговий дріб:

(2.2.1)

(послідовність неповних часток така: 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13,...)

Знайдемо підходящі для практичних розрахунків дроби використовуючи вищенаведений ланцюговий дроб:

а потім складемо таблицю для обчислення наступних дробів за допомогою рекуррентного правила:

Одержуємо підходящі дроби  й . Наближення  , рівне , було відомо ще Архімедові [21], а наближенням  користувався Андріан Меций ще наприкінці 16 сторіччя [21] . Перше наближення дуже зручно тим, що знаменник 7 дуже невеликий.У другому дробі при порівняно невеликому знаменнику  виходить наближене значення  з високою точністю.

Щоб оцінити цю точність, використовуємо формулу [4]

(2.2.2)

У нашім випадку , а

Виходить,

тобто точність отриманої відповіді перевищує . Обертаючи дріб  у десятковий, одержуємо:

РОЗДІЛ ІІІ

НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „е”

3.1 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою числових рядів

Обчислимо число  з точністю до  з використанням ряду [20]. Запишемо ряд для :

(3.1.1)

Ця рівність має місце для кожного . При

(3.1.2)

Насамперед установимо, яким треба взяти число  для здійснення необхідної точності. Якщо покласти наближене , то помилка буде

тому що є прогресія, знаменник якої дорівнює (сума  прогресси дорівнює , де її перший член, а знаменник).

Для здійснення необхідної точності треба, щоб , тобто . Уже при  дана нерівність задовольняється , тому що . Але тому що обіг членів розкладання для  в десятковий дріб і при цьому їхнє округлення послужить джерелом нової погрішності, то в запас точності візьмемо .

Оборотні члени розкладання в десятковий дріб використовуємо, округляючи їх за правилом доповнення на сьомому знаку. Тоді похибка кожного члена по абсолютній величині не більше , а вся похибка – не більше , тому що перші три члени розкладання обчислюються точно , і будемо мати:

таким чином, похибка на відкидання всіх членів розкладання, починаючи з  (дванадцятий член розкладання), не перевершує  , а похибка на округлення не більше . Звідси виходить, що загальна погрішність за абсолютним значенням дорівнює сумі

Але тоді число  знаходиться між числами  й , тобто . Отже, можна покласти . Значення  з 19 знаками після коми є [22]: