Визначення понять ірраціональності та трансцендентності чисел

1.2 Визначення понять ірраціональності та трансцендентності чисел

Для того щоб довести ірраціональність і транcцендентність чисел  і  приведемо з початку деякі визначення, теореми й приклади ірраціональних і трансцендентних чисел [9], [11], [20].

Множина дійсних чисел містить у собі підмножину всіх раціональних чисел, тобто чисел, які можна представити у вигляді кінечного дробу, а всі інші дійсні числа називають ірраціональними.

Означення 1.2.1. Дійсне число  називається ірраціональним, якщо воно відмінно від всіх раціональних чисел, тобто якщо  при всіх цілих і .

Існування ірраціональних чисел було доведено ще грецькими математиками. Ірраціональність числа була відома ще в V столітті до нашої ери математикам пифагорівскої школи, а доказ цього часто приписується Піфагору, хоча точно невідомо, чи було воно побудовано їм самим або кимнебудь із його учнів. Оскільки множину всіх раціональних чисел можна обчислити, основну масу дійсних чисел становлять ірраціональні числа.

Розглянемо найпростіші методи, які дозволяють установлювати ірраціональність деяких класів чисел. На перший погляд здається невиправданим те, що задача доказу ірраціональності якогонебудь дійсного числа а ставиться до теорії чисел, однак включення такої проблематики в теорію чисел стає відразу ясним, якщо поставити це питання в наступній формі: довести, що не існує цілих чисел і , таких, що .

Дамо спочатку одну теорему, що встановлює ірраціональність досить широкого класу дійсних чисел, які зустрічаються особливо часто в шкільних курсах алгебри й геометрії.

Теорема 1.2.1 Нехай багаточлен із цілими коефіцієнтами, дійсне число корінь . Тоді  або ціле, або ірраціональне число.

Доведення. 0ціле число, тому ми розглянемо тільки випадок . Припустимо, що  не є ірраціональним числом , тобто що раціональне число  де й  цілі , . Підставляючи  в рівняння  й домножуючи обидві частини його на , одержуємо:

Із цього співвідношення безпосередньо видно, що є дільником (позначається, як ). Оскільки , то умови й  можуть бути тільки при , тобто ціле.

Приклад 1.2.1 Якщо натуральне число  відмінно від всіх  степеней цілих чисел, то ірраціональне число.

Дійсно,  є корінь рівняння . Якщо число  не є цілим, то згідно теореми 1.2.1. воно ірраціональне. Наприклад ірраціональне число, тому що послідовність квадратів цілих чисел має вигляд  і жоден із цих квадратів не дорівнює . Число  ірраціональне , тому що послідовність позитивних кубів цілих чисел має вигляд  і жоден з них не дорівнює .

Ірраціональність деяких дійсних числі можна встановити за допомогою критеріїв, сформульованих у наступних двох теоремах.

Теорема 1.2.2. Якщо раціональне число, то існує таке що для будьякого раціонального дробу  буде справедлива нерівність :

(1.2.1)

Доведення. Нехай , де .Візьмемо . Для будьякого раціонального дробу буде , а отже, ціле число , і тоді

Теорема 1.2.3.Якщо для будьякого позитивного числа існує хоча б одна пара цілих чисел , таких ,що  то ірраціональне число.

(1.2.2)

Доведення. Якби  було раціональним, то по теоремі (1.2.2) найшлося б , таке, що для будьякого дробу  виконувалася б нерівність (1.2.1), а це суперечить тому, що відповідно до наших умов для цього  існує  таке, що має місце нерівність (1.2.2). Припущення, що раціональне число, привело нас до протиріччя, значить  ірраціональне.

Приклад 1.2.2. Довести ірраціональність числа :

Візьмемо довільне  й виберемо  настільки великим, щоб було .Покладемо,

, .

і  цілі числа . При таких і

,

так, що ірраціональне.

Теорема 1.2.4. Якщо при деякому  розкладанні  в систематичний дріб з підставою системи числення рівним , містить як завгодно довгі кінцеві ланцюжки , що складаються з однієї й тої ж цифри, то ірраціональне число.

Інакше кажучи , якщо в розкладанні

для кожного  найдуться  , причому  й  , те ірраціональне.

Доведення. Якби  було раціональним, то розкладання  в систематичний дріб з підставою  було б періодичним. Таке розкладання не може мати однієї цифри в періоді, тому що для незліченної множини  . Припущення ж, що період складається з декількох цифр, також суперечить нашим умовам , тому що в цьому випадку не могли б існувати ланцюжка з однієї цифри довжиною більше, ніж число цифр у періоді.

Приклад 1.2.3.Число , записуєме в десятковій системі счислення у вигляді

іраціональне.

Введемо визначення трансцендентності чисел.

Означення 1.2.2 Будьяке неалгебраїчне число називається трансцендентним.

Таким чином,  називається трансцендентним числом, якщо не існує жодного багаточлена із цілими коефіцієнтами, коренем якого є , тобто для всіх ,¥ при будьякому комплексі цілих, не рівних одночасно нулю чисел  маємо