Фактор-группы

3.2 Фактор-группы

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. = ={xH | x Î G}. Положим

(xH)(yH) = xyH. (3.2.1)

Проверим, что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве . Если xH = xH, yH = yH для некоторых x, y Î G, то x = xh, y = =yg, h и g Î H. Поэтому

(xH)(yH) = xyH = (xh)(yg)H = xy(yhy)gH = xyH,

т.к. yhy ÎH по теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.

Ясно, что предложенная операция (3.2.1) определена на  и ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент aH — обратным к элементу aH. Таким образом, доказана следующая.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Совокупность  = {xH | x Î G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией

(xH)(yH) = xyH

образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH) = aH.

Группа  называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается через G/H.

Если H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.

Очевидно, что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е.

|G/H |=| G : H |=| G | / | H |

ЛЕММА 3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.

Доказательство.

Пусть G/Z(G) = á gZ(G)ñ циклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa = gz, b = gz, z, zÎ Z(G), k, l Î Z

и

ab = gzgz = ggzz = ggzz = gzgz = ba

ТЕОРЕМА 3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы á аñ исчерпываются бесконечной циклической группой á аñ / E » á а ñ и конечными циклическими группами áaáаñ ñ порядка m для каждого натурального числа m.

Доказательство.

По теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M = á аñ, m Î N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа нормальна.

Фактор-группа A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A = {a | k Î Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов aM, k Î Z. Если два смежных класса совпадут aM = aM, то aÎM и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, aM, . , aM попарно различны. Кроме того, для любого aM Î A/M имеем:

t = mq + r, 0 ≤ r < m и aM = aaM = aM.

Таким образом,

A/M = {M, aM, aM, . . . , aM} = áaMñ,

т.е. фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.

ТЕОРЕМА 3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы áañ порядка n исчерпываются конечными циклическими группами áaáаñ ñ порядка m для каждого натурального m, делящего n.

Доказательство.

По теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = áañ порядка n исчерпываются циклическими подгруппами M = á аñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что

A/M = áaMñ = {aM, aM, . . . , aM,M},

т.е. A/M=áaáаñ ñ будет циклической группой порядка m.

Условимся через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, а S(G,G) = {G}.

ТЕОРЕМА 3.2.4.(Теорема о соответствии)

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Тогда:

1) если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то  = U/H — подгруппа фактор-группы = G/H;

2) каждая подгруппа фактор-группы  = G/H имеет вид  = V/H, где V— подгруппа группы G и H £V ;

3) отображение  : U →  является биекцией множества S(G,H) на множество S();

4) если N Î S(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H – нормальная подгруппа фактор-группы G/H.

Доказательство.

(1) Пусть U Î S(G,H) и пусть  ={uH | u Î U} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H. Если uH, uH Î Î, то u, u Î U, а так как U — подгруппа, то uuÎ U и uÎ U. Поэтому,

(uH)(uH) = uuH Î , (uH)= u H Î

и по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность – подгруппа группы .

(2) Пусть  — произвольная подгруппа из . Тогда состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие  , т.е. V = {x Î G | xH Î  }. Если v, v Î V, то vH, vH Î  , а так как  — подгруппа, то

(vH)( vH) = v vH Î  и (vH) = v H Î

Следовательно, v v Î V и v Î V , т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ

(3) Отображение  : U →  будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что  – инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы  = {uH | u Î U} и  = { vH | v Î V } совпадают. Тогда для любого элемента u Î U существует элемент v Î V такой, что uH = vH. Поэтому vu Î H ≤ V ∩ U. Теперь u Î V и U ≤ V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и  — инъекция.

(4) Если N  G, N Î S(G,H), то

(gH) (nH)(gH) = gngH Î N/H

для всех g Î G, n Î N. Поэтому  = N/H  . Обратно, если   , то

gngH = (gH) (nH)(gH) Î

и gngH ÎN, значит N G.

Пример: Найдем все фактор-группы группы S.

Среди подгрупп группы S со своими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E, S, H= (см. пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S. Ясно, что S/ S– единичная группа, а S/ E изоморфна S.Порядок подгруппы H= равен 3, а порядок S/ H равен 2. Поэтому S/ H – циклическая группа порядка 2.Смежные классы S по H исчерпываются классами H и (12)H. Таким образом, группа S имеет три фактор-группы: S/ H S, S/ SE, S/ H={H,(12)H}=.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория групп является одним из самых важных разделов математики, а понятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этого огромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теории групп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти к чему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешить эти вопросы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Александров, П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.:Наука, 1980.

2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

3. Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов – Мн.:Вышэйшая школа, 2006.