НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ

3. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ

3.1 Нормальные подгруппы

Подгруппа H называется нормальной подгруппой группы G, если xH=Hx для всех xÎG. Запись H  G читается так: “H – нормальная подгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, что для любого элемента hÎH существует элемент hÎ H такой, что xh= hx.

ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерий нормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующие утверждения эквивалентны:

1) H – нормальная подгруппа группы G;

2) Подгруппа H вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. hÎH для всех hÎH и всех xÎG;

3) Подгруппа H совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H для всех xÎG.

Доказательство.

Доказательство проведем по схеме (1)  (2) (3)(4)

(1)  (2). Пусть H  G, т.е. xH=Hx для всех xÎG. Если h — произвольный элемент из H, то hx  Hx = xH. Поэтому существует элемент hH такой, что hx = x h.Теперь xhx = h H.

(2)  (3). Пусть выполняются требование 2). Тогда H = {h | h H} Í Í H для всех x G. В частности, Hx Í H, т.е. xHxÍ H. Теперь

H Í xHx =H и H = H для всех x  G.

(3)  (1). Если H= H для всех x  G, то xHx = H и Hx = xH для всех x G, т.е. H – нормальная подгруппа группы G.

Ч.т.д.

СЛЕДСТВИЕ 3.1.1.

Если HG и h H, то hÍ H. Обратно, если hÍ H для всех h H, то HG.

Понятие "нормальная подгруппа" можно рассматривать не только по отношению ко всей группе, но и относительно подгрупп. Если H £ K £ G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x  K.

Простая группа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и сама группа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу E считают непростой группой.

ТЕОРЕМА 3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.