Стоуново пространство

Решётки Дистрибутивные решётки Верхние полурешётки Стоуново пространство

16370

знаков

таблиц

изображений

2. Стоуново пространство.

Определение: Подмножество верхней полурешётки называется коидеалом, если из неравенства следует и существует нижняя граница множества , такая, что .

Определение: Идеал полурешётки называется простым, если и множество является коидеалом.

В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.

Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P(A). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в <>, то . Тогда X обладает максимальным элементом.

Лемма 2: Пусть – произвольный идеал и – непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки . Если , то в полурешётке существует простой идеал такой, что и .

Доказательство.

Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна.

Пусть C – произвольная цепь в X и Если , то для некоторых Пусть для определённости . Тогда и , т.к. - идеал. Поэтому . Обратно, пусть , тогда , для некоторого Получаем , откуда .

Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D, т.е. . По лемме Цорна X обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P среди содержащих I и не пересекающихся с D.

Покажем, что P – простой. Для этого достаточно доказать, что L\P является коидеалом. Пусть L\P и . Поскольку , то , иначе в противном случае по определению идеала. Следовательно, . Если , то и пересекающихся с D в силу максимальности P. Получаем и для некоторых элементов . Существует элемент такой, что и , по определению коидеала, следовательно и для некоторых Заметим, что и не лежат в P, т.к. в противном случае .

Далее, , поэтому для некоторых и . Как и прежде . Кроме того , поэтому - нижняя грань элементов a и b, не лежащая в P. ■

В дальнейшем, через будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через множество всех простых идеалов полурешётки .

Множества вида представляют элементы полурешётки в ч.у. множестве (т.е. ). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.

Обозначим через топологическое пространство, определённое на множестве . Пространство SpecL будем называть стоуновым пространством полурешётки L.

Лемма 3: Для любого идеала I полурешётки L положим:

Тогда множества вида исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL.

Доказательство.

Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.

1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда

но 0 лежит в любом идеале, а значит .

2) Возьмём произвольные идеалы и полурешётки и рассмотрим

Пусть . Тогда существуют элементы a и Отсюда следует, что , где L\P – коидеал. По определению коидеала существует элемент d такой, что и , значит,. Т.к. , следовательно, . Получаем, что .

Обратное включение очевидно.

2) Пусть - произвольное семейство идеалов. Через обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства . Покажем, что - идеал. Пусть , тогда , где для некоторого идеала . Тогда лежит в идеале , следовательно, и , т.е. . Обратно очевидно.

Доказали, что - идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.

■

Лемма 4: Подмножества вида пространства можно охарактеризовать как компактные открытые множества.

Доказательство.

Действительно, если семейство открытых множеств покрывает множество , т.е. , то Отсюда следует, что для некоторого конечного подмножества , поэтому . Таким образом, множество компактно.

Пусть открытое множество r(I) компактно, тогда и можно выделить конечное подпокрытие для некоторых .

Покажем, что I порождается элементом .

Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в . Тогда [b) – коидеал, не пересекающийся с . По лемме 2 найдётся простой идеал P содержащий и не пересекающийся с [b). Получаем, , т.к. (т.е. ), но , т.к. , противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r(I) будет только в случае, если - главный идеал.■

Предложение 5: Пространство является - пространством.

Доказательство.

Рассмотрим два различных простых идеала и Q. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что . Тогда r(P) содержит Q, но не содержит P, т.е. SpecL является - пространством. ■

Теорема 6: Стоуново пространство определяет полурешётку с точностью до изоморфизма.

Доказательство.

Нужно показать, что две полурешётки и изоморфны тогда и только тогда, когда пространства и гомеоморфны.

Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.

Пусть и гомеоморфны () и . Тогда a определяет компактное открытое множество r(a). Множеству r(a) соответствует компактное открытое множество , с однозначно определённым элементом по лемме 4. Таким образом получаем отображение : , при котором . Покажем, что - изоморфизм решёток. Если a,b – различные элементы из , то , следовательно, , поэтому и - инъекция.

Для произвольного открытому множеству соответствует и очевидно , что показывает сюръективность .

Пусть a,b – произвольные элементы из . Заметим, что . Открытому множеству при гомеоморфизме соответствует открытое множество , а соответствует . Следовательно, =. Поскольку =, то , т.е. ■