Поток соленоидального поля через два любых сечения векторной трубки одинаков

2.  Поток соленоидального поля через два любых сечения векторной трубки одинаков.

Доказательство:

Отрезок векторной трубки, ограниченный сечениями S₁, S₂ и S_d, можно рассматривать как замкнутую поверхность, помещенную в соленоидальное поле. Поэтому

, но , т.к. .

Учитывая, что  и  направлены в противоположные стороны, и вводя (–), получим

 отсюда следует

3.  В соленоидальном поле векторные линии либо замкнуты, либо уходят к границе поля. Так как , то векторные линии поля  не могут начинаться или кончаться в области поля, иначе в…? будет существовать сток или исток, что противоречит свойству 1.

4.  Сумма соленоидальных векторных полей есть соленоидальное поле.

Потенциальное несжимаемое поле. Гармоническое поле

,  отсюда следует =

Это поле часто называют гармоническим или полем Лапласа.

Резюме

По заданному полю мы всегда можем найти поля u и . Справедливо и обратное утверждение: по известным u и  всегда можно найти искомое поле .

Пусть поле известно, тогда потенциалы u и  находятся из уравнений:

Если u и  известны, тогда векторное поле определяется из уравнений:

Эти уравнения всегда разрешимы.

Теорема о разложимости произвольного векторного поля

Произвольное векторное поле всегда может быть представлено в виде суммы потенциального  и соленоидального  полей.

Задано

где ;

и, следовательно

Потенциалы  и u должны удовлетворять следующему соотношению:

1. 

но дивергенция соленоидального поля должна быть равна 0.

отсюда

2. 

(**)

Для определения  и u получили два дифференциальных уравнения, которые всегда имеют решения и, следовательно, произвольное поле  всегда можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей.

Нахождение векторного поля по его характеристикам

Для нахождения  и u нужно решить систему четырех уравнений

Пусть известны характеристики векторного поля

(1)

или в интегральной форме:

Будем искать распределение поля . Для этого разложим его на потенциальное  и вихревое .

= + (2)

Подставляя (2) в уравнение (1), получим систему уравнений для отыскания :

(3)

Потенциальное поле удобно представить через градиент

(4)

т.к. в этом случае приходится находить всего лишь одну скалярную величину вместо трех. Подставляем (4) в первое уравнение (3), получаем уравнение

 – уравнение Пуассона (5)

Его решение известно и имеет следующий вид:

. (6)

Соленоидальное (вихревое) поле будем искать через векторный потенциал

(7)

Тогда для  получаем следующее уравнение:

(8)

Т.к. поле  тоже векторное, то для его нахождения кроме rot необходимо задать еще одно условие на div . В качестве такого условия (которое заранее ниоткуда не вытекает) удобно выбрать div= 0 (это называется калибровкой Кирхгофа). В этом случае уравнение (8) упрощается

(8а)

и его решение имеет вид:

(9)

Следовательно, искомое поле  равно:

Интегральные соотношения теории векторного поля

1.  Теорема Остроградского-Гаусса

2.  Теорема Стокса

3.  Теорема Грина

(первая форма)

(вторая форма)