Статические характеристики САУ переменного тока

2. Статические характеристики САУ переменного тока

2.1 Математическое описание преобразователя частоты (ПЧ) с промежуточным звеном постоянного тока на основе АИН

УВ – управляемый выпрямитель, отвечает за напряжение подаваемое на асинхронный двигатель;

АИН – автономный инвертор напряжения, отвечает за частоту подаваемого напряжения на асинхронный двигатель.

Функциональная схема преобразователя частоты

Исходное дифференциальное уравнение

 

Запишем эти уравнения в операторной форме

Структурная схема ПЧ на основе АИН.

2.2 Математическое описание асинхронного двигателя при управлении частотой и напряжением статора

При исследовании переходных процессов в трехфазных асинхронных электродвигателях целесообразно принять следующие допущения, позволяющие в доступной математической форме выразить соотношения основных параметров и координат электродвигателя:

1) намагничивающие силы обмоток двигателя распределены синусоидально вдоль окружности воздушного зазора;

2) потери встали статора и ротора отсутствуют;

3) обмотки статора и ротора строго симметричны со сдвигом осей обмоток на 120°;

4) насыщение магнитной цепи отсутствует.

Уравнения равновесия напряжений для обмоток трех фаз статора имеют вид

 (1)

Соответственно для обмоток трех фаз ротора

(2)

Где — мгновенные значения фазных напряжений статора и ротора;

— мгновенные значения фазных токов статора и ротора;

 - полные потокосцепления фазных обмоток;

R₁, R₂ — активные сопротивления обмоток статора и ротора.

Асинхронный электродвигатель представляет собой систему магнитно-связанных обмоток, расположенных на статоре и роторе. При вращении ротора взаимное положение обмоток статора и ротора непрерывно изменяется, соответственно изменяется и взаимная индуктивность между ними. С учетом принятых допущений можно считать, что взаимная индуктивность пропорциональна косинусу текущего угла между осями обмоток ротора и статора.

При математическом описании трехфазных асинхронных двигателей удобно оперировать не мгновенным значениями координат, а их результирующими векторами. Если, например, мгновенные значения токов равны i_a, i_b, i_c, то результирующий вектор тока определяется уравнением:

,

Где a⁰=e^j0=1; a=e^j2π/3; a²= e^j4π/3.

Аналогично определяются результирующие векторы напряжения

и потокосцепления

Используя выражения результирующих векторов, уравнения (1) можно записать в виде одного дифференциального уравнения в векторной форме. Для этого первое уравнение из (1) умножается на 2/3a⁰, второе на 2/3a, третье на 2/3a². Суммируя полученные произведения, получим

или в векторной форме

(4)

Аналогично векторное уравнение напряжений ротора:

(5)

В уравнениях (4) и (5) векторы записаны соответственно в системах координат статора и ротора. Для совместного решения уравнений их необходимо привести к одной системе координат.

При исследовании переходных процессов в электродвигателях переменного тока применяют различные ортогональные системы координат, отличающиеся угловой скоростью вращения координатных осей сок, например системы, оси которых неподвижны относительно ротора, или неподвижны относительно статора, или вращаются с синхронной скоростью.

Уравнения асинхронного электродвигателя в системе координат, вращающейся с произвольной скоростью ω_к, имеют вид

(6)

где ω — угловая скорость вращения ротора; p_п — число пар полюсов.

При исследовании переходных процессов в асинхронном электродвигателе, управляемом частотой и напряжением статора, удобно использовать систему координат, вращающуюся со скоростью ω_к, равной угловой скорости вращения магнитного поля ω₀’, приведенной к числу пар полюсов, равному единице (приведенной к двухполюсному электродвигателю). Предполагается при этом справедливым равенство

,

где f₁ — частота напряжения статора, Гц; ω₁ — угловая частота напряжения статора, рад/с.

На основании уравнений (6) для рассматриваемой координатной системы можно записать

(7)

где s — скольжение электродвигателя:

(ω₀= ω₀’/p_п — угловая скорость вращения магнитного поля, или синхронная скорость электродвигателя).

Потокосцепления связаны с токами через индуктивности

(8)

Для определения электромагнитного момента асинхронного электродвигателя используется векторное произведение ψ₁ и i₁

тогда

(9)

или векторное произведение ψ₂ и i₂’, тогда

(10)

Учитывая выражения (8), можно записать (9) и (10) в виде

; (11)

. (12)

Вторые равенства в уравнениях (11), (12) справедливы потому, что векторное произведение двух одинаково направленных векторов равно нулю.

Для полного описания переходных процессов в асинхронном электродвигателе к уравнениям напряжений и моментов следуй добавить уравнение

, (13)

записанное для скалярных значений моментов М и М_с.

Полученная система уравнений электродвигателя является нелинейной, и решение ее для различных динамических режимов работы электродвигателя может быть выполнено с использованием вычислительных машин. При синтезе систем управления асинхронным электродвигателем целесообразно располагать простыми и наглядными динамическими моделями электродвигателя в виде передаточных функций или структурных схем. Такая возможность появляется, если рассматривать переходные процессы в отклонениях относительно начальных координат электродвигателя.

Сравнительно простая структурная схема может быть получена, если пренебречь активным сопротивлением статорной цепи, т. е. положить R₁=0. Безусловно, что такое пренебрежение накладывает определенные ограничения на использование получаемых моделей. Они вполне применимы для систем с небольшим диапазоном регулирования скорости относительно синхронной скорости, для электродвигателей средней и большой мощности. При широком регулировании скорости, а также для электродвигателей малой мощности необходимы уточнения структурных схем.

Для дальнейших исследований динамических свойств асинхронных ^ электродвигателей целесообразно результирующие векторы представить в виде проекций на комплексной плоскости и записать их через вещественные и мнимые части в следующем виде:

(14)

Совместив вектор напряжения статора с действительной осью координатной системы, т. е. положив u_1β=0, на основании (7) получим

; (15)

; (16)

; (17)

. (18)

Выразив также электромагнитный момент по уравнению (9) через составляющие векторов тока и потокосцепления

и применив правило векторного произведения векторов, получим абсолютное значение момента:

, (19a)

где ;

Воспользовавшись выражением (10), можно аналогично получить

(19б)

где ;

Составляющие тока ротора могут быть выражены через составляющие потокосцепления в следующем виде:

(20)

где k₁ - коэффициент электромагнитной связи статора;

k₁=L_m/L₁; (21a)

. (21б)

С учетом (8) и (21а) можно выражения моментов записать в форме, удобной для вывода передаточных функций двигателя;

или

. (22)

В случае одновременного изменения частоты и напряжения статора, при котором потокосцепление статора остается постоянным, из уравнений (15) и (16) можно получить

(23)

Для двигателя с короткозамкнутым ротором в уравнениях (17), (18) . Выразив из уравнений (20) ψ_2α и ψ_2β и подставив их в уравнения (17), (18), получим

(24)

(25)

. (26)

Рассматривая переменные величины в приращениях относительно начальных значений , , , , , , получим из (23) - (26) уравнения для статического режима, связывающие начальные значения координат,

(27)

(28)

(29)

(30)

и уравнения для динамического режима, связывающие приращения координат:

(31)

(32)

(33)

где - электромагнитная постоянная времени электродвигателя;

 - критическое скольжение.

На основании уравнений (27)-(33) можно записать передаточную функцию

(34)

Выражение  в первом слагаемом числителя (34) представляет собой значение фиктивного пускового момента М_п.ф. определяемое в результате линеаризации рабочей части механической характеристики двигателя для принятых значений напряжения статора U_1α и угловой частоты напряжения статора Ω₁:

, (35)

где  - критический момент двигателя.

Момент М_нач во втором слагаемом числителя (34) можно записать с учетом принятых допущений в виде

, (36)

С учетом (35) и (36) выражение (34) примет следующий вид:

. (37)

Для рабочей части механической характеристики двигателя можно принять

,

и тогда передаточную функцию (37) можно записать в упрощенном виде

(38)

Представив зависимость скольжения электродвигателя от угловой частоты напряжения статора в приращениях и выполнив линеаризацию при условии, что в рабочей области s<<l, получим

(39)

Уравнение равновесия моментов (13) может быть записано в приращениях в виде

. (40)

На основании полученных выражений может быть составлена структурная схема асинхронного двигателя при управлении угловой частотой напряжения статора и при условии постоянства потокосцепления статора. Однако это удобнее сделать, если представить координаты двигателя в о. е., приняв за базовые значения координат их значения в номинальном режиме: М_п.ф.н., Ω_1н, U_1αн, Ω_0н=Ω_1н/p_п где Ω_0н - синхронная угловая скорость двигателя. Тогда , , , , .

Передаточная функция (37) с учетом (39) запишется так:

(41)

где γ=U_1α/U_1αн - относительное напряжение статора; ν=Ω₁/Ω_1н – относительная частота напряжения статора.

Или в упрощенном виде:

(42)

Соответственно на основании уравнения (40) имеем

(43)

где T_м=JΩ_0н/М_п.ф.н - механическая постоянная времени двигателя.

Упрощенная структурная схема асинхронного двигателя при управлении угловой частотой напряжения статора, построенная на основании выражений (42), (43), показана на рис. 1.

 

Рис.1.

Используя изложенный выше подход к выводу передаточных функций двигателя, можно получить передаточную функцию, связывающую изменение электромагнитного момента двигателя ΔМ при изменении напряжения статора Δu_1α и неизменной частоте напряжения статора (ω₁=const). Этот случай соответствует изменяющемуся потокосцеплению статора. В о. е. получим

, (44)

Где S₂ - абсолютное скольжение электродвигателя в рабочей точке, равное отношению угловой частоты ЭДС ротора Ω₂ (приведенной к двухполюсному электродвигателю) к номинальному значению угловой частоты напряжения статора Ω_1н.

.

Структурная схема асинхронного электродвигателя при управлении напряжением статора показана на рис. 2.

Рис.2.